Восстановление пропущенной десятичной цифры по заданному интервалу возможного ответа: карточки с ответами, 5 класс

Мини-тест для 5 класса проверяет умение найти пропущенную цифру десятичной дроби, когда известно, в каком промежутке должен находиться ответ. Вместо □ разрешается подставить одну цифру от 0 до 9. Некоторые вопросы допускают несколько решений, один ответ или не допускают ни одного. Проверяйте оба неравенства и обозначения границ.

12 вопросов для самостоятельной работы

На каждое задание даётся 1 балл за полный правильный набор цифр и 1 балл за короткое обоснование, почему другие не подходят. Максимум — 24 балла. Если требуется назвать количество или наибольшую цифру, сначала найдите весь набор, а затем ответьте на дополнительный вопрос. Круглая скобка означает строгую границу, квадратная — включённую.

1. № 1. 2,34 ≤ 2,□4 < 2,54. Запишите все цифры.
2. № 2. 6,24 ≤ 6,2□ < 6,27. Сколько различных цифр подходит?
3. № 3. 0,37 ≤ 0,□7 < 0,57. Назовите наибольшую допустимую цифру.
4. № 4. 4,405 ≤ 4,□05 < 4,705. Найдите полный набор цифр.
5. № 5. 1,04 ≤ 1,0□ < 1,08. Назовите наименьшую допустимую цифру.
6. № 6. 9,58 ≤ 9,□8 < 9,68. Единственно ли решение?
7. № 7. 1,575 ≤ (3,1□) × 0,5 < 1,59. Найдите все цифры, если интервал задан для половины числа.
8. № 8. 2,105 ≤ (8,□2) × 0,25 < 2,155. Найдите все цифры, если интервал относится к четверти числа.
9. № 9. 4,04 ≤ (5,0□) × 0,8 < 4,056. Найдите все цифры и поясните исключение правой границы.
10. № 10. 7,85 ≤ 7,□5 < 7,95. Назовите все варианты.
11. № 11. 0,46 < 0,□6 ≤ 0,66. Решите с открытой левой и закрытой правой границей.
12. № 12. 1,09 ≤ (2,□8) × 0,5 < 1,14. Проверьте строгость правой границы для половины числа.

Ключ ответов

1. № 1: 3, 4. Проверка допустимых значений: □=3 → 2,34; □=4 → 2,44. Правая граница исключена, поэтому совпадение с ней не подходит.
2. № 2: 4, 5, 6. Ответ на дополнительный вопрос: 3 цифр. Проверка допустимых значений: □=4 → 6,24; □=5 → 6,25; □=6 → 6,26. Правая граница исключена, поэтому совпадение с ней не подходит.
3. № 3: 3, 4. Ответ на дополнительный вопрос: 4. Проверка допустимых значений: □=3 → 0,37; □=4 → 0,47. Правая граница исключена, поэтому совпадение с ней не подходит.
4. № 4: 4, 5, 6. Проверка допустимых значений: □=4 → 4,405; □=5 → 4,505; □=6 → 4,605. Правая граница исключена, поэтому совпадение с ней не подходит.
5. № 5: 4, 5, 6, 7. Ответ на дополнительный вопрос: 4. Проверка допустимых значений: □=4 → 1,04; □=5 → 1,05; □=6 → 1,06; □=7 → 1,07. Правая граница исключена, поэтому совпадение с ней не подходит.
6. № 6: 5. Ответ на дополнительный вопрос: да, одна цифра. Проверка допустимых значений: □=5 → 9,58. Правая граница исключена, поэтому совпадение с ней не подходит.
7. № 7: 5, 6, 7. Проверка допустимых значений: □=5 → 1,575; □=6 → 1,58; □=7 → 1,585. Правая граница исключена, поэтому совпадение с ней не подходит.
8. № 8: 4, 5. Проверка допустимых значений: □=4 → 2,105; □=5 → 2,13. Правая граница исключена, поэтому совпадение с ней не подходит.
9. № 9: 5, 6. Проверка допустимых значений: □=5 → 4,04; □=6 → 4,048. Правая граница исключена, поэтому совпадение с ней не подходит.
10. № 10: 8. Проверка допустимых значений: □=8 → 7,85. Правая граница исключена, поэтому совпадение с ней не подходит.
11. № 11: 5, 6. Проверка допустимых значений: □=5 → 0,56; □=6 → 0,66. Правая граница включена, поэтому равное ей значение допускается.
12. № 12: 1. Проверка допустимых значений: □=1 → 1,09. Правая граница исключена, поэтому совпадение с ней не подходит.

Почему пограничные решения вызывают споры

В вопросе 1 цифра 5 дала бы 2,54 — это ровно исключённая правая граница, поэтому её нельзя включать. Цифра 3 даёт нижнюю границу 2,34, и она допустима. В вопросе 9 последняя подходящая цифра определяется не величиной самой дроби, а произведением на 0,8. Если произведение в точности равно исключённому правому концу, такой кандидат неверен.

В вопросе 11 знаки поменялись местами: нижний конец не входит, зато верхний включён. Поэтому в проверке нужно не автоматически вычитать единицу из крайней цифры, а прямо подставлять числа. Это особенно важно для значений, где пропущена цифра десятых и изменение на одну единицу заметно сдвигает всё число.

Баллы и работа над ошибками

После проверки выберите одно задание, в котором ошиблись, выпишите значения получаемого числа для всех десяти цифр □ и вычеркните выходящие за интервал. Так вы увидите, где именно проходит граница. Если неравенство содержит множитель меньше единицы, сначала вычислите произведение, а уже затем сравнивайте его с двумя концами промежутка.