Восстановление исходного измерения для длины в миллиметрах и метрах — задания с разбором, 5 класс

5 класс. Задания с разбором. Измерение изменили — прибавили отрезок, отрезали часть, сложили несколько одинаковых частей или перевели в другую единицу. Нужно восстановить именно длину до изменения. В работе важно не просто получить число, а доказать обратным действием, что оно удовлетворяет условию.

Подозрительное утверждение: «Если известны миллиметры, нельзя вернуть метры»

Предположим, после измерения получили 3275 мм. Ученик говорит: «Первоначальную длину в метрах восстановить нельзя — потеряна единица». Это неверно, когда речь идёт о самой длине: 3275 мм = 3 м 275 мм = 3,275 м. Мы ничего не округляли, поэтому значение не теряется. Однако по записи 3275 мм действительно нельзя угадать, какими словами или в каких единицах эту величину записал человек раньше. Не путайте восстановление значения с восстановлением первоначальной формы записи.

Доказательство обратимости основано на равенстве 1 м = 1000 мм. Если длину L метров умножили на 1000, получились миллиметры; обратное действие — разделить на 1000. Если к длине прибавили a миллиметров, обратное действие — вычесть a. Если отрезали b миллиметров, обратное действие — прибавить b. Для нескольких одинаковых частей обратным действием будет деление их общей длины на число частей.

Один пример — две разные проверки

После того как к ленте добавили 465 мм, её длина стала 2 м 135 мм. Исходное значение: 2135 − 465 = 1670 мм = 1 м 670 мм. Проверка по изменению: 1670 + 465 = 2135 мм. Проверка по единицам: 1 × 1000 + 670 = 1670 мм. Если написать 2 м 600 мм, вторая проверка пройдёт для 2600 мм, но первая покажет ошибку.

Особые случаи: что обязательно уточнять

• Когда изменённая длина меньше добавленного отрезка, у задачи нет решения среди неотрицательных длин: нельзя восстановить физический отрезок отрицательной длины.
• Когда несколько равных отрезков в сумме дают число миллиметров, не делящееся нацело, исходная длина может быть дробным числом миллиметров. Но если условием заданы только целые миллиметры, такой ответ не допускается.
• Записи 1 м 40 мм и 1040 мм обозначают одно измерение; записи 1 м 400 мм и 1400 мм тоже совпадают, но это другое измерение.
• Перевод единиц сам по себе не увеличивает и не уменьшает предмет: 2 м 7 мм — это 2007 мм, а не 207 мм.

Двенадцать заданий: восстановите и обоснуйте

1. К верёвке добавили 285 мм, затем измерили 1895 мм. Какова исходная длина?
2. После отрезания 375 мм осталось 1860 мм. Восстановите полную ленту.
3. Два одинаковых отрезка сложили в линию длиной 3 м 180 мм. Найдите длину одного.
4. Три равные рейки дают 4 м 260 мм. Какой длины каждая рейка?
5. После прибавления 640 мм получили 2 м 40 мм. Найдите прежнюю длину.
6. От провода отрезали 890 мм; осталось 1 м 755 мм. Какая длина была до отрезания?
7. Пять одинаковых шнуров вытянулись в цепочку длиной 6 м 125 мм. Сколько миллиметров в одном?
8. К полоске прибавили 810 мм и получили ровно 1 м. Сколько миллиметров было сначала?
9. После удаления 48 мм осталась длина 952 мм. Выразите прежний размер и в метрах, и в миллиметрах.
10. Сумма четырёх одинаковых полос равна 3 м 6 мм. Может ли каждая полоса иметь целое число миллиметров?
11. К отрезку длиной x добавили 750 мм. В результате получилось 690 мм. Существует ли исходная неотрицательная длина?
12. До обрезки кабель был на 315 мм длиннее остатка 2 м 685 мм. Найдите исходное измерение.

Разбор и ключ: проверяем каждое измерение

1. 1. (1895 − 285) = 1610 мм = 1 м 610 мм; обратно: 1610 + 285 = 1895 мм.
2. 2. 1860 + 375 = 2235 мм = 2 м 235 мм; обратно: 2235 − 375 = 1860 мм.
3. 3. 3180 : 2 = 1590 мм = 1 м 590 мм; обратно: 2 × 1590 = 3180 мм.
4. 4. 4260 : 3 = 1420 мм = 1 м 420 мм; обратно: 3 × 1420 = 4260 мм.
5. 5. (2040 − 640) = 1400 мм = 1 м 400 мм; обратно: 1400 + 640 = 2040 мм.
6. 6. 1755 + 890 = 2645 мм = 2 м 645 мм; обратно: 2645 − 890 = 1755 мм.
7. 7. 6125 : 5 = 1225 мм = 1 м 225 мм; обратно: 5 × 1225 = 6125 мм.
8. 8. (1000 − 810) = 190 мм = 190 мм; обратно: 190 + 810 = 1000 мм.
9. 9. 952 + 48 = 1000 мм = 1 м 0 мм; обратно: 1000 − 48 = 952 мм.
10. 10. 3006 : 4 = 751 мм и остаток 2 мм; ни один целый размер в мм не подходит. При разрешении дробных мм каждая часть равна 751.5 мм.
11. 11. Для восстановления получилось бы 690 − 750 = -60 мм. Отрицательная длина невозможна: в неотрицательных длинах решения нет.
12. 12. 2685 + 315 = 3000 мм = 3 м 0 мм; обратно: 3000 − 315 = 2685 мм.

Почему ответ считается доказанным

В задачах 1 и 5 известно новое значение после прибавления длины. Поэтому старое значение должно быть меньше нового. В задачах 2, 6 и 12 известна длина после отрезания, и исходный отрезок обязательно длиннее остатка. Эти простые оценки полезны: они обнаруживают ошибку ещё до точных вычислений.

В задачах 3, 4 и 7 общий размер составлен из одинаковых частей. Частное показывает размер одной части, а умножение на число частей возвращает исходную сумму. В задаче 10 число 3006 не делится на 4 нацело; поэтому требование целого количества миллиметров не выполняется. Важная тонкость: 751,5 мм физически допустимы, если измерения можно задавать с точностью до половины миллиметра. Нельзя объявлять любую дробную длину невозможной без оговорки.

Задача 11 имеет другое ограничение. Если к неотрицательной длине прибавить 750 мм, новая длина не может стать 690 мм. Ни перевод единиц, ни округление не исправляют противоречие. Здесь грамотное решение — назвать причину отсутствия допустимого значения, а не подбирать удобное число.

Самопроверка. Для каждого численного ответа должны одновременно выполняться три требования: исходная длина неотрицательна; перевод метров в миллиметры выполнен по множителю 1000; повторение действия из условия даёт ровно конечный размер. Не смешивайте эту работу с заданиями на округление: здесь длины заданы точно.

Проверка логики: число и единица измерения

Покажите два решения одной задачи на доске. Первое: 2 м 680 мм − 315 мм = 2 м 365 мм. Второе: 2680 мм − 315 мм = 2365 мм = 2 м 365 мм. Оба пути дают одинаковую длину, потому что перевод метров в миллиметры сохраняет величину. Откуда берётся ошибка в записи 2,680 м − 0,315 м = 2,365 м? Её нет, если запятая понимается как десятичная: цифры после запятой означают тысячные доли метра. Неверно было бы заменить 2 м 680 мм числом 2,68 мм — тогда изменилась сама единица.

Для проверки представьте длину в виде числа на луче от нуля. Когда отрезок удлиняют, конечная точка движется вправо; когда укорачивают, влево. Поэтому по направлению изменения можно оценить знак результата, ещё не выполняя арифметику. Например, если после укорачивания оказалось 1860 мм, исходное число обязательно больше 1860 мм. Если же после добавления 810 мм получилось ровно 1000 мм, исходный отрезок обязан быть короче 1000 мм.

Небольшое исследование для проверки понимания

Сравните два утверждения. Первое: «Перевели 2450 мм в метры, а потом обратно в миллиметры». Здесь исходное числовое значение в миллиметрах восстанавливается однозначно: преобразования взаимно обратны и ничего не теряется. Второе: «Учитель сообщил только результат округления 2 м». В этом случае миллиметры восстановить однозначно нельзя: неизвестно, была ли длина 1500, 1999 или 2499 мм. Отличие принципиально: перевод точных единиц сохраняет измерение, округление уменьшает точность.

При оценивании ответа «3 м» без обратной проверки учителю полезно спросить: «Какой исходный результат получится, если повторить действие?» В задаче 12 это 3000 − 315 = 2685 мм, то есть 2 м 685 мм. Обратная подстановка подтверждает и число, и единицу. Для ученика пятого класса такая проверка важнее громоздкой записи уравнения: он должен видеть физический смысл сложения и вычитания отрезков.