Восстановление пропущенной строки таблицы в сравнении цен за одинаковый объём — карточки с ответами, 5 класс

5 класс · исследовательский урок с ответами. Здесь пропадает целая строка таблицы сравнения цен на напитки одинакового объёма. Чтобы её восстановить, надо понять, что именно остаётся постоянным: цена за 100 мл, за 500 мл или за 1 литр. В задачах специально есть и честные пропорции, и «ловушки», где магазин предоставляет скидку.

Наблюдение: куда исчезла строка «750 мл»?

Кафе разливает один и тот же морс по стаканам. Для всех объёмов действует одна цена за каждые 250 мл; скидок нет. Работник удалил из прайса одну строку.

1. Восстановите обе цены в пропущенной строке. Объясните, почему умножаете, а не складываете объёмы.
2. Проверьте новую строку по паре «500 мл — 180 ₽», не пользуясь строкой 250 мл.
3. Какая строка содержит четыре порции по 250 мл? Вычислите её цену и сравните с указанной.
4. Два ученика предложили 250 ₽ и 270 ₽ за 750 мл. Кто прав и какая именно запись таблицы это подтверждает?

Правило, которое выводим сами

Если цена за одинаковый единичный объём постоянна, стоимость растёт во столько же раз, во сколько растёт объём. Например, 750 мл — это три порции по 250 мл, поэтому цена составляет 3 × 90 = 270 ₽. Такой способ работает лишь при подтверждённой одинаковой цене за 250 мл. Нельзя сравнивать непосредственно 200 ₽ за 400 мл и 250 ₽ за 600 мл: сначала приводят объёмы к единой единице.

Чтобы убедиться в восстановленной строке, выполните обратную проверку: стоимость разделите на число порций. Для морса 270 : 3 = 90 ₽ за 250 мл. Если получится другое число, строку заполнили неверно. При сравнении нескольких товаров следите, чтобы речь шла об одном и том же объёме; иначе сравнение цен ничего не говорит о выгоде.

Сравните два тарифа на единой шкале: если 400 мл стоят 100 ₽, то при постоянном тарифе 200 мл будут стоить 50 ₽, а 600 мл — 150 ₽. Но если другая бутылка на 600 мл имеет ценник 145 ₽, это уже отдельный тариф. Следовательно, восстановить пропущенную строку можно только в пределах таблицы с явно указанным правилом. Сами названия напитков и общие слова «выгодная цена» ещё не дают математического правила. В ответе нужно назвать опорную единицу, например 250 мл, и показать отношение объёмов.

Здесь полезно отличать три операции: перевод миллилитров в литры, сравнение разных упаковок по одинаковому объёму и восстановление неизвестной цены по известному постоянному тарифу. Перевод 750 мл = 0,75 л ничего не говорит о стоимости. Число 270 ₽ получается не от перевода единиц, а от дополнительного условия «90 ₽ за каждые 250 мл». Проверьте это рассуждение своими словами, прежде чем использовать умножение.

Осторожно: контрпример со скидкой

Поскольку литровая бутылка стоит не 360 ₽, а 340 ₽, постоянной цены за 250 мл нет. В таком каталоге цена за 750 мл не определяется однозначно: без дополнительного условия допустимы, например, 270 ₽ и 260 ₽. Четыре порции по 250 мл за 360 ₽ не эквивалентны одной акционной бутылке по 340 ₽. Важно уметь сказать «недостаточно данных», а не придумывать правило.

1. Почему по второй таблице нельзя без нового условия надёжно назвать цену 750 мл?
2. Предположите, что для 750 мл действует обычный тариф без скидки. Сколько тогда стоит удалённая строка?
3. Если для 750 мл магазин установил акционную цену 255 ₽, какова цена за 250 мл в этой упаковке? Почему она отличается от первой таблицы?

Четыре независимые карточки — применяем правило

В каждой из следующих карточек сначала восстановите удалённую строку, затем подпишите тариф на одинаковый объём. Если единица тарифной цены не указана, выберите удобную и объясните выбор.

1. Лимонад: восстановите стоимость 600 мл и докажите равенством с ценой 800 мл.
2. Какао: восстановите стоимость 700 мл; сколько порций по 350 мл в этой упаковке?
3. Сок: восстановите цену 1 л. Проверьте расчёт, сложив две упаковки по 500 мл.
4. Компот: восстановите стоимость 800 мл и назовите цену за 200 мл.

Для всех четырёх карточек запишите ещё и обратное равенство. Например, цену 162 ₽ за 600 мл лимонада разделите на три одинаковые порции по 200 мл: получится 54 ₽. Если в проверке вышло бы 56 ₽, найденная цена не согласовывалась бы с первой строкой таблицы. В практических задачах важно показывать не только арифметическое действие, но и смысл делителя — количество равных порций, а не произвольное число из соседней строки.

Последнее сравнение: выгодная покупка

Один и тот же напиток у двух продавцов продают без залога тары: в магазине А — 600 мл за 168 ₽, в магазине Б — 900 мл за 243 ₽. В обоих магазинах внутри своего прайса цена пропорциональна объёму, но их тарифы различаются. Сравнивать следует одинаковые 300 мл.

1. Восстановите строку «300 мл» у обоих продавцов. Где 300 мл дешевле?

Ключ с решениями

1. 1. 750 мл = 3 × 250 мл; цена 270 ₽, за 250 мл — 90 ₽.
2. 2. 180 ₽ : 2 = 90 ₽ за 250 мл; за 750 мл 3 × 90 = 270 ₽.
3. 3. 1000 мл = 4 × 250 мл; 4 × 90 = 360 ₽, таблица верна.
4. 4. Верно 270 ₽: три одинаковые порции по 90 ₽; 250 ₽ не делится на три порции по указанному тарифу.
5. 5. Литровая акция нарушает постоянный тариф: 340 : 4 = 85 ₽ за 250 мл вместо 90 ₽.
6. 6. При обычном тарифе 750 мл стоят 270 ₽: 3 × 90.
7. 7. 255 : 3 = 85 ₽ за 250 мл. Акционная цена одной порции на 5 ₽ меньше.
8. 8. 600 мл = 3 × 200 мл, поэтому 162 ₽. Проверка: 4 × 54 = 216 ₽ за 800 мл.
9. 9. 700 мл = 2 × 350 мл; 210 ₽ и две порции.
10. 10. 1000 мл = 2 × 500 мл; 300 ₽, а 150 + 150 = 300.
11. 11. 800 мл = 2 × 400 мл; 232 ₽. В 400 мл две порции по 200 мл, значит 58 ₽ за 200 мл.
12. 12. 600 : 300 = 2, значит в А 300 мл стоят 168 : 2 = 84 ₽. В Б 900 : 300 = 3, поэтому 243 : 3 = 81 ₽. Магазин Б дешевле на 3 ₽ за 300 мл.

Педагогическая заметка: обсуждая контрпример, попросите детей сформулировать дополнительное условие, которое сделает пропущенную строку определённой. Например: «Цена за 250 мл для 750-миллилитровой упаковки точно такая же, как для 250 мл». Это превращает догадку в корректную математическую модель.

Для самостоятельной проверки достаточно закрыть ключ и заполнять столбец удалённых строк по порядку. Там, где не дано единое правило тарифа, правильным математическим ответом остаётся указание на недостаточность данных. Именно этот навык отличает осмысленное чтение таблицы от механического перемножения чисел.