Восстановление числа по модулю и знаку при нескольких модулях в условии — рабочий лист для 6 класса

Рабочий лист, 6 класс. Цель — восстановить целое число из сведений о его модуле и знаке, затем проверить несколько других модулей. Это не обзор всех действий с отрицательными числами: в каждом задании требуется найти конкретное число или установить несовместимость условий.

Метод восстановления и проверка условий

Модуль числа — расстояние от числа до нуля. Если |x| = 12 и x < 0, то x = −12; если x > 0, то x = 12. При |x| = 0 единственное число x = 0, а ноль не является ни положительным, ни отрицательным. Дополнительные равенства вида |x − a| = b нельзя игнорировать: они могут подтвердить ответ или обнаружить противоречие.

Алгоритм: сначала выпишите два кандидата по первому модулю; отбросьте неподходящий по условию на знак; затем подставьте найденное число в каждое оставшееся равенство с модулем. Совпасть должны все значения. Если хотя бы одна проверка не проходит, пишите «решений нет», а не исправляйте условие.

Разобранный пример. |x| = 14, x < 0, |x + 6| = 8, |x − 3| = 17. Из первых двух сведений x = −14. Проверяем: |−14 + 6| = |−8| = 8; |−14 − 3| = |−17| = 17. Оба дополнительных модуля совпали, значит x = −14 — искомое число.

Уровень 1. Найдите знак и проверьте второй модуль

В каждом пункте уже указано, с какой стороны от нуля находится x. Не ограничивайтесь выбором «плюс или минус»: второе равенство обязательно проверяется численно.

1. |x| = 9; x < 0; |x — 4| = 13. Найдите x или докажите невозможность.
2. |x| = 17; x > 0; |x + 5| = 22. Найдите x или докажите невозможность.
3. |x| = 23; x < 0; |x + 7| = 16. Найдите x или докажите невозможность.
4. |x| = 6; x > 0; |x — 11| = 5. Найдите x или докажите невозможность.
5. |x| = 13; x < 0; |x — 8| = 23. Найдите x или докажите невозможность.
6. |x| = 21; x > 0; |x — 4| = 17. Найдите x или докажите невозможность.
7. |x| = 28; x < 0; |x + 9| = 19. Найдите x или докажите невозможность.
8. |x| = 15; x > 0; |x + 3| = 20. Найдите x или докажите невозможность.

Уровень 2. Две возможные ветви и отбор по знаку

Теперь модуль задан не только у самого x, но и у выражения с x. Сначала выясните, какое из чисел m и −m подходит по знаку, потом отдельно оцените сдвиг внутри модуля. Для отрицательных значений особенно внимательно раскрывайте разность x − a.

1. |x| = 18; x < 0; |x — 7| = 25. Определите число и проверьте совместимость.
2. |x| = 25; x > 0; |x + 12| = 37. Определите число и проверьте совместимость.
3. |x| = 11; x < 0; |x + 15| = 4. Определите число и проверьте совместимость.
4. |x| = 32; x > 0; |x — 9| = 23. Определите число и проверьте совместимость.
5. |x| = 27; x < 0; |x + 14| = 14. Определите число и проверьте совместимость.
6. |x| = 19; x > 0; |x — 6| = 13. Определите число и проверьте совместимость.
7. |x| = 35; x < 0; |x — 8| = 43. Определите число и проверьте совместимость.
8. |x| = 41; x > 0; |x + 13| = 55. Определите число и проверьте совместимость.

Проверьте себя на пятом задании уровня 2: правильный знак x ещё не означает, что выполнено условие на |x + 14|. Восьмое задание этого уровня устроено аналогично: один нарушенный модуль перечёркивает всё решение. Это важно при системах условий.

Уровень 3. Несколько модулей и особый случай нуля

В следующих восьми заданиях каждое условие независимо. Перепроверьте обе подстановки, даже если первая уже совпала: в математическом обосновании нельзя пропустить ограничение из условия. Знаки «больше» и «меньше» относятся именно к x, а не к значениям модулей.

1. |x| = 24; x < 0; |x + 11| = 13; |x − 5| = 29. Восстановите x либо обоснуйте отсутствие решений.
2. |x| = 37; x > 0; |x + 4| = 41; |x − 16| = 21. Восстановите x либо обоснуйте отсутствие решений.
3. |x| = 16; x < 0; |x + 9| = 7; |x − 12| = 31. Восстановите x либо обоснуйте отсутствие решений.
4. |x| = 48; x > 0; |x + 17| = 65; |x − 7| = 41. Восстановите x либо обоснуйте отсутствие решений.
5. |x| = 42; x < 0; |x + 6| = 36; |x − 19| = 61. Восстановите x либо обоснуйте отсутствие решений.
6. |x| = 0; x = 0; |x + 5| = 5; |x − 4| = 4. Восстановите x либо обоснуйте отсутствие решений.
7. |x| = 29; x > 0; |x + 18| = 47; |x − 6| = 26. Восстановите x либо обоснуйте отсутствие решений.
8. |x| = 51; x < 0; |x + 23| = 28; |x − 8| = 59. Восстановите x либо обоснуйте отсутствие решений.

Ключ и развёрнутые решения

Ответы к уровню 1

1. Кандидат по модулю и знаку — x = -9. Проверка: |-9 — 4| = 13; все условия выполнены.
2. Кандидат по модулю и знаку — x = 17. Проверка: |17 + 5| = 22; все условия выполнены.
3. Кандидат по модулю и знаку — x = -23. Проверка: |-23 + 7| = 16; все условия выполнены.
4. Кандидат по модулю и знаку — x = 6. Проверка: |6 — 11| = 5; все условия выполнены.
5. Кандидат по модулю и знаку — x = -13. Проверка: |-13 — 8| = 21, а требуется 23; следовательно, решения нет.
6. Кандидат по модулю и знаку — x = 21. Проверка: |21 — 4| = 17; все условия выполнены.
7. Кандидат по модулю и знаку — x = -28. Проверка: |-28 + 9| = 19; все условия выполнены.
8. Кандидат по модулю и знаку — x = 15. Проверка: |15 + 3| = 18, а требуется 20; следовательно, решения нет.

Ответы к уровню 2

1. Знак выбирает x = -18; |-18 — 7| = 25 = 25, ответ x = -18.
2. Знак выбирает x = 25; |25 + 12| = 37 = 37, ответ x = 25.
3. Знак выбирает x = -11; |-11 + 15| = 4 = 4, ответ x = -11.
4. Знак выбирает x = 32; |32 — 9| = 23 = 23, ответ x = 32.
5. Знак выбирает x = -27; |-27 + 14| = 13 ≠ 14, поэтому совместного решения нет.
6. Знак выбирает x = 19; |19 — 6| = 13 = 13, ответ x = 19.
7. Знак выбирает x = -35; |-35 — 8| = 43 = 43, ответ x = -35.
8. Знак выбирает x = 41; |41 + 13| = 54 ≠ 55, поэтому совместного решения нет.

Проверка всех условий уровня 3

1. Из модуля и условия на знак получаем x = -24. Первый контроль: |-24 + 11| = 13. Второй: |-24 − 5| = 29. Следовательно, x = -24.
2. Из модуля и условия на знак получаем x = 37. Первый контроль: |37 + 4| = 41. Второй: |37 − 16| = 21. Следовательно, x = 37.
3. Из модуля и условия на знак получаем x = -16. Первый контроль: |-16 + 9| = 7. Второй: |-16 − 12| = 28, не 31. Поэтому решений нет.
4. Из модуля и условия на знак получаем x = 48. Первый контроль: |48 + 17| = 65. Второй: |48 − 7| = 41. Следовательно, x = 48.
5. Из модуля и условия на знак получаем x = -42. Первый контроль: |-42 + 6| = 36. Второй: |-42 − 19| = 61. Следовательно, x = -42.
6. Из модуля и условия на знак получаем x = 0. Первый контроль: |0 + 5| = 5. Второй: |0 − 4| = 4. Следовательно, x = 0.
7. Из модуля и условия на знак получаем x = 29. Первый контроль: |29 + 18| = 47. Второй: |29 − 6| = 23, не 26. Поэтому решений нет.
8. Из модуля и условия на знак получаем x = -51. Первый контроль: |-51 + 23| = 28. Второй: |-51 − 8| = 59. Следовательно, x = -51.

Обратите внимание на шестое задание уровня 3: знак здесь специально заменён условием x = 0. Модуль нуля равен нулю; два оставшихся модуля считаются как расстояния от 0 до −5 и до 4. Утверждения «0 > 0» и «0 < 0» оба ложны, поэтому ноль нельзя записывать ни в группу положительных, ни в группу отрицательных чисел.

Типичные ошибки: подмена |−m| на −m, потеря одного из равенств с модулем, путаница между |x − a| и |x| − a, решение только по последнему условию. Для самостоятельной проверки зачеркните все промежуточные вычисления и заново подставьте ответ в исходную строку: такой контроль быстрее выявляет ошибочный знак, чем повторение прежнего рассуждения.

Дополнительная проверка доказательства

Чтобы отличать обоснованный ответ от догадки, полезно записывать четыре строки: 1) возможные знаки числа из первого модуля; 2) выбранное значение по требованию x < 0 или x > 0; 3) фактические значения каждого дополнительного модуля; 4) вывод о совместимости всех условий. Например, если по первым двум строкам выходит x = −27, а условие на |x + 14| требует величину, отличную от |−13|, это не «почти верное» решение: исходные равенства несовместимы.

Проверять отрицательные числа удобно также на координатной прямой: выражение |x − a| означает расстояние между точками x и a. А |x + a| — расстояние от x до −a. Это не два разных правила, а одна и та же геометрическая идея. Если известен знак x и расстояние от нуля, его положение уже однозначно; дополнительный модуль лишь проверяет это положение. Слишком длинные переборы не нужны.