Восстановление числа по модулю и знаку с переменой знака результата: самостоятельная работа, 6 класс

Самостоятельная работа, 6 класс. Контекст — школьный контроль запасов в шести учебных кабинетах. Отклонение x от плана измеряют целым числом единиц: избыток положителен, недостаток отрицателен. На табло «сколько осталось до нормы» прибор выводит y = −x. Поэтому табло всегда показывает противоположный знак, но тот же модуль: |y| = |x|.

Исходные данные: что показывает прибор

У каждого кабинета известны модуль отклонения |x| и знак показания y. В таблице не указано само x: его предстоит восстановить. Все значения целые; кабинет с нулевым отклонением рассмотрен отдельно как контроль смысла знака.

Разобранная модель для строки А: y положительно, значит x отрицательно; из |x| = 18 получаем x = −18, y = +18. Проверяем: −(−18) = +18 и |−18| = 18. Нельзя считать, что у табло тот же знак, что и у исходного отклонения: оно показывает величину для исправления, а не отклонение.

Часть I. Восстановите недостающее число по таблице

1. Кабинет А. Найдите отклонение x и показание y; объясните знак x и проверьте модуль.
2. Кабинет Б. Найдите отклонение x и показание y; объясните знак x и проверьте модуль.
3. Кабинет В. Найдите отклонение x и показание y; объясните знак x и проверьте модуль.
4. Кабинет Г. Найдите отклонение x и показание y; объясните знак x и проверьте модуль.
5. Кабинет Д. Найдите отклонение x и показание y; объясните знак x и проверьте модуль.
6. Кабинет Е. Найдите отклонение x и показание y; объясните знак x и проверьте модуль.

Часть II. После исправления: знак результата меняется снова

Ответственный исправляет запас на величину c. Новое отклонение вычисляют по формуле z = x + c, а табло после операции показывает w = −z. Положительное c означает довоз единиц, отрицательное — изъятие. Это позволяет проверить, когда дополнительная операция меняет знак результата и когда просто уменьшает его модуль.

1. Кабинет А. Вычислите z и w после поправки +23; укажите, изменился ли знак между x и z.
2. Кабинет Б. Вычислите z и w после поправки -35; укажите, изменился ли знак между x и z.
3. Кабинет В. Вычислите z и w после поправки +11; укажите, изменился ли знак между x и z.
4. Кабинет Г. Вычислите z и w после поправки -26; укажите, изменился ли знак между x и z.
5. Кабинет Д. Вычислите z и w после поправки +37; укажите, изменился ли знак между x и z.
6. Кабинет Е. Вычислите z и w после поправки -19; укажите, изменился ли знак между x и z.

Ключ: все 12 заданий

Восстановление из |x| и знака y

1. А: x = -18, y = +18. Потому что y = −x и |x| = 18; проверка |-18| = 18.
2. Б: x = +27, y = -27. Потому что y = −x и |x| = 27; проверка |27| = 27.
3. В: x = -34, y = +34. Потому что y = −x и |x| = 34; проверка |-34| = 34.
4. Г: x = +15, y = -15. Потому что y = −x и |x| = 15; проверка |15| = 15.
5. Д: x = -22, y = +22. Потому что y = −x и |x| = 22; проверка |-22| = 22.
6. Е: x = +31, y = -31. Потому что y = −x и |x| = 31; проверка |31| = 31.

Перемена знака после исправления

1. А: x = -18, c = +23. z = (-18) + (23) = +5; w = −(5) = -5. Знак x → z изменился: да.
2. Б: x = +27, c = -35. z = (27) + (-35) = -8; w = −(-8) = +8. Знак x → z изменился: да.
3. В: x = -34, c = +11. z = (-34) + (11) = -23; w = −(-23) = +23. Знак x → z изменился: нет.
4. Г: x = +15, c = -26. z = (15) + (-26) = -11; w = −(-11) = +11. Знак x → z изменился: да.
5. Д: x = -22, c = +37. z = (-22) + (37) = +15; w = −(15) = -15. Знак x → z изменился: да.
6. Е: x = +31, c = -19. z = (31) + (-19) = +12; w = −(12) = -12. Знак x → z изменился: нет.

Проверьте разумность: если кабинет недобрал запас, его x отрицательно, но корректирующее показание y положительно — нужно пополнить. После большого довоза z может стать положительным и табло w сменит знак: теперь требуется убрать излишек. Если x и z одинакового знака, это не ошибка: смена знака при переходе от x к y и при переходе от z к w происходит всегда, а при прибавлении c — не обязательно.

Критерии самопроверки: 1 балл за верные знаки восстановленных x и y, ещё 1 балл за проверку модуля; в части II — по 1 баллу за z и w и пояснение смены знака. Ошибка, при которой ученик пишет «|−27| = −27», означает, что он смешал исходное отклонение с неотрицательным расстоянием от нуля.

Как интерпретировать таблицу без ошибок

Исходная таблица описывает один и тот же запас в двух системах отсчёта. Число x говорит, насколько фактическое количество больше или меньше планового, а число y — какую поправку табло советует выполнить. При дефиците x отрицательно, так что y положительно; при излишке всё наоборот. Разность между этими записями не означает, что товаров стало в два раза больше: поменялось только направление, в котором измеряют отклонение.

Если в некотором кабинете поправка c точно компенсирует исходное отклонение (c = −x), новое z равно нулю, и w тоже равно нулю. Писать у нуля обязательный плюс или минус нельзя. В таблице именно ненулевые примеры: это позволяет явно проследить смену знака и сравнить значения до и после вмешательства. При самостоятельной проверке сравнивайте модули |z| и |w|: они должны быть одинаковы независимо от того, сколько единиц исправили.