Проверка цепочки действий с отрицательными числами с переменой знака результата — рабочий лист для 6 класса

Рабочий лист для 6 класса. Проверьте спорный тезис: «если в цепочке встретился знак минус, результат обязательно станет отрицательным». Он ложен. Отрицательный знак между числами означает вычитание; итог может быть положительным, отрицательным или равным нулю в зависимости от величин. Здесь важна проверка знака после каждого перехода, а не только окончательный ответ.

Почему знак может измениться

Если к отрицательному числу прибавить положительное, большее по модулю, сумма станет положительной: −8 + 13 = 5. Если прибавить равное по модулю — получим ноль: −8 + 8 = 0. А вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного: −8 − (−13) = 5. Поэтому для строгого ответа записывайте промежуточные значения.

Особенно внимательно сравнивайте два перехода: смена знака у числа при умножении на −1 (−(−a) = a) и смена знака суммы после очередного действия. Это разные утверждения. Ноль сам по себе не имеет ни плюса, ни минуса, поэтому в ответе «переход через ноль» нужно обозначить отдельно.

Задачи 1–4. Опровергните или подтвердите утверждение

1. Из -19 прибавили +27, затем -6. Утверждение: «После первого действия результат положителен.» Проверьте его и обоснуйте.
2. Из -34 прибавили +12, затем +30. Утверждение: «В конце цепочки результат отрицателен.» Проверьте его и обоснуйте.
3. Из -25 прибавили +25, затем -9. Утверждение: «После первого действия получился ноль.» Проверьте его и обоснуйте.
4. Из -42 прибавили +17, затем +15. Утверждение: «Результат сменит знак хотя бы один раз.» Проверьте его и обоснуйте.

Задачи 5–8. Объясните роль внешнего минуса

1. Начните с -17; прибавьте +29, затем возьмите противоположное полученному числу и прибавьте -5. Где именно знак поменялся?
2. Начните с -21; прибавьте +8, затем возьмите противоположное полученному числу и прибавьте +24. Где именно знак поменялся?
3. Начните с -39; прибавьте +45, затем возьмите противоположное полученному числу и прибавьте -14. Где именно знак поменялся?
4. Начните с -28; прибавьте +28, затем возьмите противоположное полученному числу и прибавьте +11. Где именно знак поменялся?

Задачи 9–12. Особые случаи и доказательство по сравнению модулей

1. Проверьте цепочку -46 → прибавить +19 → прибавить +14. Сформулируйте, в какой момент возможно изменение знака и почему.
2. Проверьте цепочку -35 → прибавить +47 → прибавить -21. Сформулируйте, в какой момент возможно изменение знака и почему.
3. Проверьте цепочку -63 → прибавить +28 → прибавить +35. Сформулируйте, в какой момент возможно изменение знака и почему.
4. Проверьте цепочку -52 → прибавить +15 → прибавить +49. Сформулируйте, в какой момент возможно изменение знака и почему.

Ответы и рассуждения

Утверждения: проверка вычислением

1. Сначала -19 + (27) = 8; затем 8 + (-6) = 2. Утверждение верно; знаки последовательности: − → + → +.
2. Сначала -34 + (12) = -22; затем -22 + (30) = 8. Утверждение неверно; знаки последовательности: − → − → +.
3. Сначала -25 + (25) = 0; затем 0 + (-9) = -9. Утверждение верно; знаки последовательности: − → 0 → −.
4. Сначала -42 + (17) = -25; затем -25 + (15) = -10. Утверждение неверно; знаки последовательности: − → − → −.

Перемена знака после взятия противоположного

1. -17 + (29) = 12; противоположное число равно -12; -12 + (-5) = -17. Переход 12 → -12 меняет знак, если 12 ≠ 0; заключительное сложение также нужно проверять по модулю слагаемых. Конечное значение -17.
2. -21 + (8) = -13; противоположное число равно 13; 13 + (24) = 37. Переход -13 → 13 меняет знак, если -13 ≠ 0; заключительное сложение также нужно проверять по модулю слагаемых. Конечное значение 37.
3. -39 + (45) = 6; противоположное число равно -6; -6 + (-14) = -20. Переход 6 → -6 меняет знак, если 6 ≠ 0; заключительное сложение также нужно проверять по модулю слагаемых. Конечное значение -20.
4. -28 + (28) = 0; противоположное число равно 0; 0 + (11) = 11. Переход 0 → 0 меняет знак, если 0 ≠ 0; заключительное сложение также нужно проверять по модулю слагаемых. Конечное значение 11.

Доказательство через модули

1. -46 + (19) = -27; -27 + (14) = -13. На первом шаге сравниваются |-46| = 46 и |19| = 19; на втором — текущий модуль 27 и модуль нового слагаемого 14. Поэтому знаки − → − → −.
2. -35 + (47) = 12; 12 + (-21) = -9. На первом шаге сравниваются |-35| = 35 и |47| = 47; на втором — текущий модуль 12 и модуль нового слагаемого 21. Поэтому знаки − → + → −.
3. -63 + (28) = -35; -35 + (35) = 0. На первом шаге сравниваются |-63| = 63 и |28| = 28; на втором — текущий модуль 35 и модуль нового слагаемого 35. Поэтому знаки − → − → 0.
4. -52 + (15) = -37; -37 + (49) = 12. На первом шаге сравниваются |-52| = 52 и |15| = 15; на втором — текущий модуль 37 и модуль нового слагаемого 49. Поэтому знаки − → − → +.

Вывод: для сложения чисел с разными знаками знак ненулевого результата принадлежит слагаемому с большим модулем. При равных модулях сумма равна нулю. При смене знака числа запись −(−a) возвращает a, но числовой результат последующего сложения не предопределён. Это и есть основание для проверки любой цепочки: после каждого перехода надо отдельно пересчитать число и определить его знак.

Как построить настоящее доказательство, а не угадать знак

Пусть после очередного шага получено отрицательное число −m, где m > 0. Если следующее действие — прибавление положительного n, то выражение −m + n имеет три возможных результата. При n < m разность остаётся отрицательной, при n = m равна нулю, а при n > m становится положительной. Именно сравнение m и n заранее объясняет смену знака, а вычисление подтверждает вывод. Нельзя судить о знаке результата только по знаку последнего слагаемого: он может оказаться меньше по модулю исходного отрицательного числа.

Аналогично, если из положительного числа p вычитают положительное q, знак результата определяют сравнением p и q. При p > q останется плюс, при равенстве — ноль, а при p < q появится минус. Вычитание отрицательного устроено иначе: p − (−q) = p + q. Здесь при p, q > 0 результат всегда положителен. Для отрицательного начального числа такого обещания уже нет: −p − (−q) = q − p и опять требует сравнения величин.

В задачах 5–8 команда «взять противоположное» меняет знак у текущего результата. Поэтому важно не перепрыгивать через промежуточное значение и не подменять противоположное «модулем». Если текущий результат равен −12, противоположным будет +12, а модуль тоже 12 — здесь ответы совпадут. Но при текущем +12 противоположное −12, тогда как модуль остаётся +12. Эта пара примеров показывает, почему случайное совпадение для отрицательного числа не доказывает общего правила.

Задания 9–12 помогают сформулировать точное правило словами. Сначала укажите знаки двух слагаемых. Когда они разные, сравните их модули; когда одинаковые — сохраните общий знак и сложите модули. В конце отметьте, равен ли какой-либо промежуточный результат нулю. Если ноль встретился, не записывайте «минус сменился плюсом» именно в этот момент: переход шёл через третье, нулевое, состояние. Такой способ объяснения полезен при устной защите решения и при поиске первой ошибки в чужой цепочке.