Оценка результата дробного вычисления при наличии сокращения до вычисления — тренажёр для 6 класса

6 класс · тренажёр с доказательствами. Перед нами не просто умножение обыкновенных дробей. Нужно до вычисления понять порядок величины результата, увидеть общие множители и доказать, что предварительное сокращение не меняет ответ. Все знаменатели ненулевые, поэтому произведения определены. После каждого задания дан ключ с проверкой.

Подозрительное утверждение: «сократить крест-накрест — значит изменить дроби»

Рассмотрим (14/25) × (15/28). Кто-то считает, что сокращать 14 с 28 и 15 с 25 нельзя: ведь это числители и знаменатели разных дробей. Но произведение равно (14 × 15)/(25 × 28), а произведение чисел не изменится, если одинаковый ненулевой множитель убрать из числителя и знаменателя. Именно поэтому можно заменить 14/28 на 1/2 и 15/25 на 3/5: получим (1 × 3)/(5 × 2) = 3/10.

Ещё до умножения удобно оценить: 14/25 немного больше половины, а 15/28 немного больше половины; произведение должно быть больше четверти, но меньше единицы. Ответ 3/10 = 0,3 этому соответствует. Оценка не доказывает точное значение, зато помогает заметить грубую ошибку вроде 3 или 30/10.

Почему способ всегда работает

Для натуральных ненулевых a, b, c, d верно (a/b) × (c/d) = (a × c)/(b × d). Если число k делит одновременно a и d, можно записать a = k × u и d = k × v. Тогда произведение становится (k × u × c)/(b × k × v) = (u × c)/(b × v). Мы сократили общий множитель числителя и знаменателя итогового произведения, а не произвольно убрали два числа. Аналогично сокращают c и b.

Важное уточнение: предварительно сокращают множители только при умножении. Нельзя так поступать с 2/3 + 3/5: это сумма, а не одно произведение. Если дано деление дробей, сначала заменяют его умножением на обратную дробь. Нельзя делить на ноль, а при переходе к обратной дроби числитель делителя тоже не может быть нулём.

Проверяем особые случаи, которые легко пропустить

1. Произведение равно единице. Например, (9/14) × (14/9) = 1. Сокращение не обязано давать дробь меньше единицы.
2. Произведение больше единицы. Например, (5/6) × (18/5) = 3. Умножение на неправильную дробь может увеличить число.
3. Нулевой множитель. 0/7 × 15/8 = 0, но запись 3/0 не является дробью и сокращать знаменатель до нуля нельзя.
4. Сумма вместо произведения. 1/2 + 1/3 = 5/6; «сокращение крест-накрест» здесь не выполняют.

Двенадцать заданий: сначала прикидка, затем сокращение

Для каждого произведения без длинного перемножения оцените, расположен ли результат ниже 1/2, между 1/2 и 1, равен 1 или больше 1. Затем сократите множители до вычисления, запишите точный результат и подтвердите его оценкой. В нескольких случаях оценка может быть уточнена уже после сокращения — это нормально.

1. (14/25) × (15/28). Запишите удобное предварительное сокращение и оцените результат.
2. (9/16) × (32/27). Запишите удобное предварительное сокращение и оцените результат.
3. (18/35) × (14/9). Запишите удобное предварительное сокращение и оцените результат.
4. (25/36) × (18/5). Запишите удобное предварительное сокращение и оцените результат.
5. (33/40) × (16/11). Запишите удобное предварительное сокращение и оцените результат.
6. (21/32) × (64/7). Запишите удобное предварительное сокращение и оцените результат.
7. (27/50) × (25/9). Запишите удобное предварительное сокращение и оцените результат.
8. (44/63) × (21/22). Запишите удобное предварительное сокращение и оцените результат.
9. (12/35) × (49/18). Запишите удобное предварительное сокращение и оцените результат.
10. (45/56) × (14/15). Запишите удобное предварительное сокращение и оцените результат.
11. (40/81) × (27/16). Запишите удобное предварительное сокращение и оцените результат.
12. (26/45) × (15/13). Запишите удобное предварительное сокращение и оцените результат.

Ключ к двенадцати произведениям

1. 3/10 (меньше 1/2). Сокращение: (1/5) × (3/2); проверка: 14/25 × 15/28 = 3/10.
2. 2/3 (между 1/2 и 1). Сокращение: (1/1) × (2/3); проверка: 9/16 × 32/27 = 2/3.
3. 4/5 (между 1/2 и 1). Сокращение: (2/5) × (2/1); проверка: 18/35 × 14/9 = 4/5.
4. 5/2 (больше 1). Сокращение: (5/2) × (1/1); проверка: 25/36 × 18/5 = 5/2.
5. 6/5 (больше 1). Сокращение: (3/5) × (2/1); проверка: 33/40 × 16/11 = 6/5.
6. 6 (больше 1). Сокращение: (3/1) × (2/1); проверка: 21/32 × 64/7 = 6.
7. 3/2 (больше 1). Сокращение: (3/2) × (1/1); проверка: 27/50 × 25/9 = 3/2.
8. 2/3 (между 1/2 и 1). Сокращение: (2/3) × (1/1); проверка: 44/63 × 21/22 = 2/3.
9. 14/15 (между 1/2 и 1). Сокращение: (2/5) × (7/3); проверка: 12/35 × 49/18 = 14/15.
10. 3/4 (между 1/2 и 1). Сокращение: (3/4) × (1/1); проверка: 45/56 × 14/15 = 3/4.
11. 5/6 (между 1/2 и 1). Сокращение: (5/3) × (1/2); проверка: 40/81 × 27/16 = 5/6.
12. 2/3 (между 1/2 и 1). Сокращение: (2/3) × (1/1); проверка: 26/45 × 15/13 = 2/3.

Умение оценивать произведение можно сделать строгим. В разобранном примере обе дроби заключены между 1/2 и 3/5: действительно, 1/2 < 14/25 < 3/5 и 1/2 < 15/28 < 3/5. Все числа положительные, значит произведение заключено между 1/4 и 9/25. После предварительного сокращения мы получили 3/10: 1/4 < 3/10 < 9/25. Такая двусторонняя оценка подтверждает, что порядок величины найден верно; она не заменяет точный расчёт, а служит его независимой проверкой.

Есть и обратный способ проверить сокращение: вместо того чтобы заново умножать большие исходные числа, умножьте полученное сокращённое произведение на одну из исходных дробей, поделив его предварительно на другую. Например, (3/10) : (14/25) = (3/10) × (25/14) = 15/28. Мы восстановили второй множитель. Если при расчёте был потерян коэффициент, такая проверка сразу обнаружила бы расхождение. Для деления на дробь опять важно, что делитель не равен нулю.

Задания на аргументацию: найдите подмену действия

В двух дополнительных примерах важно сначала распознать действие. Учитель предлагает решения: А — «(12/25) : (18/35) = (12/25) × (18/35)» и Б — «(14/27) : (7/9) = (14/27) × (9/7)». Определите, какое преобразование неверно, исправьте запись и сопоставьте полученный результат с единицей.

1. Для примера А найдите правильное частное, выполнив сокращение до умножения.
2. Для примера Б вычислите частное и объясните, почему оно не превышает единицу.

Разбор двух случаев

1. А: 14/15. Дробь 18/35 ненулевая. Нужно умножать на обратную 35/18: (12/25) × (35/18) = 14/15; произведение на 18/35 вместо 35/18 — ошибка.
2. Б: 2/3. Замена деления умножением на 9/7 правильна: (14/27) × (9/7) = 2/3. Результат меньше единицы, поскольку 14/27 меньше 7/9.

Самопроверка. Укажите не только сокращённую дробь, но и словесную оценку. Если после вычисления дробь оказалась больше единицы, а вы ожидали меньше половины, вернитесь к вопросу: оба множителя меньше единицы или один из них неправильный? Если итог не совпадает с ключом, сначала проверьте обратную дробь при делении и наличие общих множителей, а уже затем перемножайте большие числа.