Нахождение ошибки в составном дробном выражении в вычислении нескольких последовательных долей — упражнения разной сложности, 6 класс

6 класс · упражнения разной сложности. Когда действия выполняют последовательно, каждую очередную долю берут не от исходного числа, а от количества, оставшегося после предыдущего шага. В составных выражениях это особенно легко перепутать. В карточке сначала разобрана типичная ошибка, затем идут задачи с проверкой результата в обратном порядке.

Разобранный пример: почему нельзя брать доли трижды от целого

В мастерской было 360 бумажных заготовок. В первый день использовали 1/4 всех заготовок, во второй — 2/5 остатка, а в третий — 1/3 нового остатка. Ученик вычислил 90, 144 и 120, а затем записал остаток 6. Найдите ошибку. Все три числа выглядят как правильные дробные части от 360, но условие разрешало брать от первоначального количества только первую долю.

Правильно: первый расход 360 × 1/4 = 90, осталось 270. Второй расход 270 × 2/5 = 108, осталось 162. Третий расход 162 × 1/3 = 54, осталось 108 заготовок. Проверка: 90 + 108 + 54 + 108 = 360. В ошибочном ответе 144 было найдено как 2/5 от 360, а не от 270. Это меняет дальнейший расчёт.

Меняем условие и проверяем обратным ходом

Пусть из 240 листов сначала использовали 1/3, затем 1/4 оставшегося и, наконец, 2/5 нового остатка. Первый расход — 80, осталось 160; затем расход 40, осталось 120; затем расход 48, осталось 72. Проверка обратным действием: 72 : (1 − 2/5) = 120; 120 : (1 − 1/4) = 160; 160 : (1 − 1/3) = 240. При обратной проверке делят именно на долю оставшегося количества.

Общий способ: если на трёх шагах берут доли a, b и c от текущего остатка, в конце останется N × (1 − a) × (1 − b) × (1 − c). Этот способ особенно удобен для обратной задачи, когда известен итог. Он не означает, что из N можно вычитать сумму a + b + c: основания у трёх долей разные.

Уровень I — исправьте ошибочный остаток (1–6)

Для каждого набора приведены начальное количество и доли расхода на трёх шагах. Найдите окончательный остаток и покажите расходы второго и третьего шага. Во всех задачах количество предметов целое. Если кто-то считает все три доли от первоначального количества, объясните, на каком шаге возникла первая ошибка.

1. Изначально 360 шт.; расходуют 1/4, затем 2/5 остатка и 1/3 следующего остатка. Сколько остаётся после трёх шагов?
2. Изначально 240 шт.; расходуют 1/3, затем 1/4 остатка и 2/5 следующего остатка. Сколько остаётся после трёх шагов?
3. Изначально 252 шт.; расходуют 2/7, затем 1/3 остатка и 1/4 следующего остатка. Сколько остаётся после трёх шагов?
4. Изначально 600 шт.; расходуют 3/8, затем 2/5 остатка и 1/3 следующего остатка. Сколько остаётся после трёх шагов?
5. Изначально 840 шт.; расходуют 1/5, затем 3/7 остатка и 1/4 следующего остатка. Сколько остаётся после трёх шагов?
6. Изначально 360 шт.; расходуют 1/6, затем 2/3 остатка и 1/5 следующего остатка. Сколько остаётся после трёх шагов?

Уровень II — найдите ошибку в расходе (7–11)

Ученик верно находит первую долю, но во втором действии иногда берёт долю от всего исходного количества. Сопоставьте его ответ с правильным вторым расходом; затем вычислите окончательный остаток и проверьте равенство «три расхода + остаток = первоначальное количество».

Задание 7. Начало: 900 шт. Доли расхода: 2/9, затем 1/4 от остатка, затем 3/5 от нового остатка. Ученик записал второй расход 225 шт. — проверьте, верно ли это, и найдите финальный остаток.

Задание 8. Начало: 840 шт. Доли расхода: 3/10, затем 1/7 от остатка, затем 2/3 от нового остатка. Ученик записал второй расход 120 шт. — проверьте, верно ли это, и найдите финальный остаток.

Задание 9. Начало: 1200 шт. Доли расхода: 1/8, затем 2/5 от остатка, затем 1/6 от нового остатка. Ученик записал второй расход 480 шт. — проверьте, верно ли это, и найдите финальный остаток.

Задание 10. Начало: 480 шт. Доли расхода: 2/5, затем 1/3 от остатка, затем 3/8 от нового остатка. Ученик записал второй расход 160 шт. — проверьте, верно ли это, и найдите финальный остаток.

Задание 11. Начало: 1890 шт. Доли расхода: 1/7, затем 2/9 от остатка, затем 1/5 от нового остатка. Ученик записал второй расход 420 шт. — проверьте, верно ли это, и найдите финальный остаток.

Уровень III — восстановите исходное количество (12–15)

Теперь дан только остаток в конце всех трёх действий. Как восстановить исходное количество? Идите от последнего расхода к первому: каждый раз делите известный остаток на долю, которую оставили после соответствующего шага. Для проверки просчитайте прямое движение от найденного начала.

12. После последовательного расхода 3/11, затем 1/4 и затем 2/7 от текущего остатка в наличии 360 шт. Сколько было первоначально?
13. После последовательного расхода 1/9, затем 3/5 и затем 1/4 от текущего остатка в наличии 192 шт. Сколько было первоначально?
14. После последовательного расхода 2/13, затем 3/8 и затем 1/5 от текущего остатка в наличии 880 шт. Сколько было первоначально?
15. После последовательного расхода 1/10, затем 2/7 и затем 3/8 от текущего остатка в наличии 675 шт. Сколько было первоначально?

Ответы с проверяемыми расчётами

1. 1. Осталось 108 шт. Первое действие: 360 × 1/4 = 90; остаток 270. Второе: 270 × 2/5 = 108; остаток 162. Третье: 162 × 1/3 = 54. Проверка: 90 + 108 + 54 + 108 = 360.
2. 2. Осталось 72 шт. Первое действие: 240 × 1/3 = 80; остаток 160. Второе: 160 × 1/4 = 40; остаток 120. Третье: 120 × 2/5 = 48. Проверка: 80 + 40 + 48 + 72 = 240.
3. 3. Осталось 90 шт. Первое действие: 252 × 2/7 = 72; остаток 180. Второе: 180 × 1/3 = 60; остаток 120. Третье: 120 × 1/4 = 30. Проверка: 72 + 60 + 30 + 90 = 252.
4. 4. Осталось 150 шт. Первое действие: 600 × 3/8 = 225; остаток 375. Второе: 375 × 2/5 = 150; остаток 225. Третье: 225 × 1/3 = 75. Проверка: 225 + 150 + 75 + 150 = 600.
5. 5. Осталось 288 шт. Первое действие: 840 × 1/5 = 168; остаток 672. Второе: 672 × 3/7 = 288; остаток 384. Третье: 384 × 1/4 = 96. Проверка: 168 + 288 + 96 + 288 = 840.
6. 6. Осталось 80 шт. Первое действие: 360 × 1/6 = 60; остаток 300. Второе: 300 × 2/3 = 200; остаток 100. Третье: 100 × 1/5 = 20. Проверка: 60 + 200 + 20 + 80 = 360.
7. 7. Осталось 210 шт. Первое действие: 900 × 2/9 = 200; остаток 700. Второе: 700 × 1/4 = 175; остаток 525. Третье: 525 × 3/5 = 315. Проверка: 200 + 175 + 315 + 210 = 900.
8. 8. Осталось 168 шт. Первое действие: 840 × 3/10 = 252; остаток 588. Второе: 588 × 1/7 = 84; остаток 504. Третье: 504 × 2/3 = 336. Проверка: 252 + 84 + 336 + 168 = 840.
9. 9. Осталось 525 шт. Первое действие: 1200 × 1/8 = 150; остаток 1050. Второе: 1050 × 2/5 = 420; остаток 630. Третье: 630 × 1/6 = 105. Проверка: 150 + 420 + 105 + 525 = 1200.
10. 10. Осталось 120 шт. Первое действие: 480 × 2/5 = 192; остаток 288. Второе: 288 × 1/3 = 96; остаток 192. Третье: 192 × 3/8 = 72. Проверка: 192 + 96 + 72 + 120 = 480.
11. 11. Осталось 1008 шт. Первое действие: 1890 × 1/7 = 270; остаток 1620. Второе: 1620 × 2/9 = 360; остаток 1260. Третье: 1260 × 1/5 = 252. Проверка: 270 + 360 + 252 + 1008 = 1890.
12. 12. Исходно 924 шт. Обратно: 360 : (1 − 2/7) = 504; далее 504 : (1 − 1/4) = 672; наконец 672 : (1 − 3/11) = 924. Прямой расчёт подтверждает остаток 360.
13. 13. Исходно 720 шт. Обратно: 192 : (1 − 1/4) = 256; далее 256 : (1 − 3/5) = 640; наконец 640 : (1 − 1/9) = 720. Прямой расчёт подтверждает остаток 192.
14. 14. Исходно 2080 шт. Обратно: 880 : (1 − 1/5) = 1100; далее 1100 : (1 − 3/8) = 1760; наконец 1760 : (1 − 2/13) = 2080. Прямой расчёт подтверждает остаток 880.
15. 15. Исходно 1680 шт. Обратно: 675 : (1 − 3/8) = 1080; далее 1080 : (1 − 2/7) = 1512; наконец 1512 : (1 − 1/10) = 1680. Прямой расчёт подтверждает остаток 675.

Типовая ошибка и её исправление

Если школьник написал 1/4 + 2/5 + 1/3 как суммарную долю израсходованного, он сложил доли от разных оснований. Например, после использования четверти заготовок вторую долю нужно умножать уже на 270, а не на 360. Для исправления составьте короткую таблицу с четырьмя колонками: «сколько было перед шагом», «доля», «сколько взяли», «сколько осталось». Переносите в следующую строку только последнюю колонку.

Ещё одна проверка: при расходе доли, строго большей нуля и меньшей единицы, остаток на каждом шаге должен уменьшаться, но не становиться отрицательным. Результат больший, чем начальное количество, сразу невозможен. В этой серии числовые данные специально подобраны так, чтобы все промежуточные количества оставались целыми; поэтому появление половины бумажного листа либо отрицательного числа требует перепроверки арифметики.

Критерий самостоятельной работы. В заданиях 1–6 требуется полный ход; в заданиях 7–11 — объяснение конкретного неправильного основания доли; в заданиях 12–15 — обратная проверка. За верный ответ без объяснения можно дать один балл, а за верный ответ с указанным основанием каждой доли и проверкой — два. На повторение достаточно решить одно задание из каждого уровня другим способом.