Проверка сохранения отношения с округлением вычисленной длины — тренажёр для 6 класса

6 класс. Практическая цель: вычислять пропорциональную длину без преждевременного округления, различать точное и приближённое отношение. Все величины в условиях учебные; задания подходят для распечатки, а ответы расположены после упражнений.

Метод на одном примере

Допустим, 6 см на плане соответствуют 250 см действительной длины. Для предмета 93 см понадобится x = 6·93/250 = 2,232 см. Если чертёж допускает точность до десятых сантиметра, пишем x ≈ 2,2 см. Однако дробь 2,2/93 уже не равна точно 6/250: изменение длины при округлении неизбежно меняет частное. Знак «≈» принципиален.

Правило: сначала составьте пропорцию p/R = x/L, где p и x — длины на плане, R и L — реальные длины в одинаковых единицах. Затем вычислите x без округления и лишь в последней строке округлите до указанной точности. Для округления до десятых сантиметра абсолютная ошибка не превышает 0,05 см; до сотых — 0,005 см; до целого — 0,5 см.

Уровень I — основа, восемь заданий

1. На плане отрезку 6 см соответствует реальная длина 270 см. Сколько сантиметров плана соответствует 185 см? Округлите до десятых см.
2. Фрагмент чертежа 4 см соответствует 150 см. Найдите длину для 95 см. Округлите до сотых см.
3. План 7 см ↔ 280 см. Какую длину плана задаёт реальный отрезок 119 см? Округлите до десятых см.
4. На схеме 5 см ↔ 180 см. Сколько на ней займёт деталь 101 см? Округлите до десятых см.
5. Чертёж 9 см ↔ 240 см. Рассчитайте изображение рейки 175 см. Округлите до сотых см.
6. План 3 см ↔ 125 см. Чему равен отрезок для 78 см? Округлите до десятых см.
7. Макет 8 см ↔ 350 см. Найдите размер для 112 см. Округлите до сотых см.
8. Линия 11 см ↔ 440 см. Найдите изображение отрезка 137 см. Округлите до десятых см.

Уровень II — дробные размеры и проверка приближённости

В задаче о плане местности обе действительные длины даны в метрах, а обе длины изображения — в сантиметрах; коэффициент «сантиметры плана на метр местности» в соответствующих долях сравнивается одинаковым способом. Для записи безразмерного масштаба метры предварительно переводят в сантиметры.

В заданиях 9–16 не забывайте: разные единицы надо согласовать до вычисления, а «1,00 см» и «1 см» могут отражать разную указанную точность измерения.

1. Рамка: 8 см на схеме соответствуют 300 см. Найдите длину для 167 см. Округлите до десятых см и объясните, почему итоговое отношение лишь приближённое.
2. План 6,5 см соответствует 260 см. Отрезок для 159 см? Округлите до сотых см и объясните, почему итоговое отношение лишь приближённое.
3. План местности 4,8 см соответствует 192 м. Найдите отрезок для 73 м. Округлите до десятых см и объясните, почему итоговое отношение лишь приближённое.
4. Макет 3,75 см соответствует 150 см. Отрезок для 97 см? Округлите до сотых см и объясните, почему итоговое отношение лишь приближённое.
5. Чертёж 5,4 см соответствует 180 см. Отрезок для 125 см? Округлите до целого см и объясните, почему итоговое отношение лишь приближённое.
6. На эскизе 7,2 см ↔ 240 см. Изобразите длину 53 см. Округлите до десятых см и объясните, почему итоговое отношение лишь приближённое.
7. Схема 12,5 см ↔ 500 см. Отложите деталь 131 см. Округлите до сотых см и объясните, почему итоговое отношение лишь приближённое.
8. Чертёж 2,8 см ↔ 70 см. Найдите отрезок для 29 см. Округлите до десятых см и объясните, почему итоговое отношение лишь приближённое.

Уровень III — два размера и проверка точности масштаба

Здесь каждое задание требует двух вычислений, сравнения со старым масштабом и проверки погрешностей. Нельзя округлять уже исходные данные без разрешения условия.

1. Чертёж пары реек: 5 см чертежа отвечают 180 см реальной длины; реальная рейка А — 127 см, реальная рейка Б — 203 см. Найдите обе точные длины на плане, округлите до десятых см, сравните отношение длины к её оригиналу до и после округления.
2. Макет подиума: 6 см чертежа отвечают 225 см реальной длины; длина стороны — 174 см, ширина стороны — 83 см. Найдите обе точные длины на плане, округлите до сотых см, сравните отношение длины к её оригиналу до и после округления.
3. План сада: 7 см чертежа отвечают 280 см реальной длины; аллея № 1 — 197 см, аллея № 2 — 153 см. Найдите обе точные длины на плане, округлите до десятых см, сравните отношение длины к её оригиналу до и после округления.
4. План кабинета: 9 см чертежа отвечают 360 см реальной длины; первый стол — 145 см, второй стол — 97 см. Найдите обе точные длины на плане, округлите до сотых см, сравните отношение длины к её оригиналу до и после округления.
5. Схема маршрута: 4 см чертежа отвечают 160 см реальной длины; участок А — 117 см, участок Б — 213 см. Найдите обе точные длины на плане, округлите до целого см, сравните отношение длины к её оригиналу до и после округления.
6. Эскиз павильона: 5 см чертежа отвечают 210 см реальной длины; стена А — 137 см, стена Б — 89 см. Найдите обе точные длины на плане, округлите до десятых см, сравните отношение длины к её оригиналу до и после округления.
7. Шаблон рамок: 8 см чертежа отвечают 330 см реальной длины; рама А — 109 см, рама Б — 216 см. Найдите обе точные длины на плане, округлите до сотых см, сравните отношение длины к её оригиналу до и после округления.
8. План выставки: 12 см чертежа отвечают 450 см реальной длины; проход А — 119 см, проход Б — 261 см. Найдите обе точные длины на плане, округлите до десятых см, сравните отношение длины к её оригиналу до и после округления.

Ключ и проверка: уровень I

1. Из пропорции 6/270 = x/185 получаем x = 6·185/270 = 37/9 см. После округления 4,1 см; отклонение от точного значения ≈ 0,0111 см.
2. Из пропорции 4/150 = x/95 получаем x = 4·95/150 = 38/15 см. После округления 2,53 см; отклонение от точного значения ≈ 0,0033 см.
3. Из пропорции 7/280 = x/119 получаем x = 7·119/280 = 2,975 см. После округления 3 см; отклонение от точного значения ≈ 0,025 см.
4. Из пропорции 5/180 = x/101 получаем x = 5·101/180 = 101/36 см. После округления 2,8 см; отклонение от точного значения ≈ 0,0056 см.
5. Из пропорции 9/240 = x/175 получаем x = 9·175/240 = 6,5625 см. После округления 6,56 см; отклонение от точного значения ≈ 0,0025 см.
6. Из пропорции 3/125 = x/78 получаем x = 3·78/125 = 1,872 см. После округления 1,9 см; отклонение от точного значения ≈ 0,028 см.
7. Из пропорции 8/350 = x/112 получаем x = 8·112/350 = 2,56 см. После округления 2,56 см; отклонение от точного значения 0 см.
8. Из пропорции 11/440 = x/137 получаем x = 11·137/440 = 3,425 см. После округления 3,4 см; отклонение от точного значения ≈ 0,025 см.

Ключ с пояснениями: уровень II

1. Точное отношение: 8/300 = x/167. Отсюда x = 334/75 см, приближённо 4,5 см. Разница ≈ 0,0467 см. Равенство отношений точное до округления, после округления обычно приближённое.
2. Точное отношение: 6,5/260 = x/159. Отсюда x = 3,975 см, приближённо 3,98 см. Разница ≈ 0,005 см. Равенство отношений точное до округления, после округления обычно приближённое.
3. Точное отношение: 4,8/192 = x/73. Отсюда x = 1,825 см, приближённо 1,8 см. Разница ≈ 0,025 см. Равенство отношений точное до округления, после округления обычно приближённое.
4. Точное отношение: 3,75/150 = x/97. Отсюда x = 2,425 см, приближённо 2,43 см. Разница ≈ 0,005 см. Равенство отношений точное до округления, после округления обычно приближённое.
5. Точное отношение: 5,4/180 = x/125. Отсюда x = 3,75 см, приближённо 4 см. Разница ≈ 0,25 см. Равенство отношений точное до округления, после округления обычно приближённое.
6. Точное отношение: 7,2/240 = x/53. Отсюда x = 1,59 см, приближённо 1,6 см. Разница ≈ 0,01 см. Равенство отношений точное до округления, после округления обычно приближённое.
7. Точное отношение: 12,5/500 = x/131. Отсюда x = 3,275 см, приближённо 3,28 см. Разница ≈ 0,005 см. Равенство отношений точное до округления, после округления обычно приближённое.
8. Точное отношение: 2,8/70 = x/29. Отсюда x = 1,16 см, приближённо 1,2 см. Разница ≈ 0,04 см. Равенство отношений точное до округления, после округления обычно приближённое.

Подробные решения составных заданий

1. Для реальная рейка А: 5·127/180 = 127/36 см → 3,5 см. Для реальная рейка Б: 5·203/180 = 203/36 см → 5,6 см. Максимальные фактические отклонения: ≈ 0,0278 и ≈ 0,0389 см. До округления оба отношения равны 5/180; после округления их нельзя без проверки считать точно равными исходному. Для каждого результата верна погрешность не более 0,05 см при обычном округлении до заданного разряда.
2. Для длина стороны: 6·174/225 = 4,64 см → 4,64 см. Для ширина стороны: 6·83/225 = 166/75 см → 2,21 см. Максимальные фактические отклонения: 0 и ≈ 0,0033 см. До округления оба отношения равны 6/225; после округления их нельзя без проверки считать точно равными исходному. Для каждого результата верна погрешность не более 0,005 см при обычном округлении до заданного разряда.
3. Для аллея № 1: 7·197/280 = 4,925 см → 4,9 см. Для аллея № 2: 7·153/280 = 3,825 см → 3,8 см. Максимальные фактические отклонения: ≈ 0,025 и ≈ 0,025 см. До округления оба отношения равны 7/280; после округления их нельзя без проверки считать точно равными исходному. Для каждого результата верна погрешность не более 0,05 см при обычном округлении до заданного разряда.
4. Для первый стол: 9·145/360 = 3,625 см → 3,63 см. Для второй стол: 9·97/360 = 2,425 см → 2,43 см. Максимальные фактические отклонения: ≈ 0,005 и ≈ 0,005 см. До округления оба отношения равны 9/360; после округления их нельзя без проверки считать точно равными исходному. Для каждого результата верна погрешность не более 0,005 см при обычном округлении до заданного разряда.
5. Для участок А: 4·117/160 = 2,925 см → 3 см. Для участок Б: 4·213/160 = 5,325 см → 5 см. Максимальные фактические отклонения: ≈ 0,075 и ≈ 0,325 см. До округления оба отношения равны 4/160; после округления их нельзя без проверки считать точно равными исходному. Для каждого результата верна погрешность не более 0,5 см при обычном округлении до заданного разряда.
6. Для стена А: 5·137/210 = 137/42 см → 3,3 см. Для стена Б: 5·89/210 = 89/42 см → 2,1 см. Максимальные фактические отклонения: ≈ 0,0381 и ≈ 0,019 см. До округления оба отношения равны 5/210; после округления их нельзя без проверки считать точно равными исходному. Для каждого результата верна погрешность не более 0,05 см при обычном округлении до заданного разряда.
7. Для рама А: 8·109/330 = 436/165 см → 2,64 см. Для рама Б: 8·216/330 = 288/55 см → 5,24 см. Максимальные фактические отклонения: ≈ 0,0024 и ≈ 0,0036 см. До округления оба отношения равны 8/330; после округления их нельзя без проверки считать точно равными исходному. Для каждого результата верна погрешность не более 0,005 см при обычном округлении до заданного разряда.
8. Для проход А: 12·119/450 = 238/75 см → 3,2 см. Для проход Б: 12·261/450 = 6,96 см → 7 см. Максимальные фактические отклонения: ≈ 0,0267 и ≈ 0,04 см. До округления оба отношения равны 12/450; после округления их нельзя без проверки считать точно равными исходному. Для каждого результата верна погрешность не более 0,05 см при обычном округлении до заданного разряда.

Разбор частых трудностей

Почему иногда отношения всё же равны после округления? Это возможно случайно, если рассчитанные значения уже совпадают с нужным разрядом либо их округления сохраняют соответствующую пропорцию. Но по одному факту округления это не следует. Для строгой проверки сравните перекрёстные произведения после округления.

Где поставить знак приблизительного равенства? Если x = 2,232 см, то «x = 2,2 см» без оговорки математически неверно. Следует записать «x ≈ 2,2 см». Для точных моделей, пока дробь не округлена, пропорцию записывают со знаком равенства.

Как проверить результат без полного пересчёта? Сравните новые длины со старыми: если реальный предмет почти в два раза длиннее опорного, то и его изображение должно быть почти вдвое длиннее опорного. Но такая оценка не заменяет расчёт и проверку единиц.

Подсказка учителю: разделите оценку на три части — составление пропорции, вычисление точного значения и корректное указание приближённого результата. Ошибка в округлении не должна скрывать правильно понятую модель; при этом путаница между «=» и «≈» отмечается отдельно.