Составление пропорции по условию с переводом сантиметров в метры — математический практикум для 6 класса

6 класс. Практическая цель: переводить реальную длину из метров в сантиметры, самому записывать пропорцию из условия и проверять её смысл. Все величины в условиях учебные; задания подходят для распечатки, а ответы расположены после упражнений.

Практическая ситуация: план выставочного кабинета

Шестиклассники готовят на бумаге план небольшого школьного пространства. Для всех предметов требуется один масштаб, чтобы мебель и проходы уместились в помещении. Длины здесь условные: это отдельное учебное упражнение, а не готовый план эвакуации.

Таблица исходных величин

От условия к математической модели

В масштабе принято сравнивать длину плана и реальную длину в одинаковых единицах. Один метр равен 100 сантиметрам. Для стенда получаем 6 см : 240 см = 1:40. Если реальная длина L см, а изображение x см, составляем x/L = 6/240. Числа 6 и 240 соответствуют одному и тому же предмету; случайная перестановка мест меняет смысл задачи.

Разбор образца: изображение шкафа длиной 260 см занимает x = 6·260/240 = 6,5 см. Результат разумен: шкаф немного длиннее стенда (260 против 240 см), поэтому его отрезок на плане тоже должен быть немного длиннее (6,5 против 6 см).

Тринадцать связанных вопросов по плану

1. По данным о стенде составьте пропорцию, показывающую масштаб: отрезок 6 см на плане соответствует 2,4 м в действительности.
2. Проверьте по записи стола, соответствует ли он масштабу стенда.
3. Составьте пропорцию для нового шкафа длиной 2,6 м. Какой отрезок нужен на плане?
4. Для новой перегородки на плане отвели 5,5 см. Какова действительная длина в метрах?
5. Понадобился стенд длиной 3,6 м. Запишите пропорцию и найдите длину на плане.
6. Сверьте данные для прохода длиной 3,2 м и планового отрезка 8 см.
7. Ученик дал для отрезка 4 см действительную длину 2 м. Проверьте запись по главной пропорции.
8. Действительная длина коврика равна 1,4 м. Составьте пропорцию и подтвердите длину на чертеже 3,5 см.
9. Новый экран изображён отрезком 4 см. Найдите действительную длину в метрах.
10. Найдите суммарную длину на плане, если рядом стоят стол длиной 1,8 м и стеллаж длиной 1,2 м без промежутка.
11. Составьте пропорцию по реальным отрезкам 1,2 м и 1,8 м, если на плане они равны 3 см и 4,5 см.
12. Предложили добавить в ту же таблицу пару «2,5 м — 5 см». Можно ли считать её частью одного масштаба?
13. Плановая длина ряда столов составляет 12 см. Составьте уравнение на реальную длину и переведите ответ в метры.

Полные ответы с составленными пропорциями

1. 2,4 м = 240 см. Пропорция плана к оригиналу: 6/240 = 1/40, то есть масштаб 1:40. Для новых пар используйте x/L = 6/240 при L в сантиметрах.
2. 1,8 м = 180 см; 4,5/180 = 1/40 = 6/240. Да, обе пары пропорциональны.
3. 2,6 м = 260 см. x/260 = 6/240, откуда 240x = 1560; x = 6,5 см. Проверка 6,5:260 = 1:40.
4. 5,5/x = 6/240 при x в сантиметрах. x = 5,5·240/6 = 220 см = 2,2 м.
5. 3,6 м = 360 см. 6/240 = x/360, значит x = 6·360/240 = 9 см.
6. 3,2 м = 320 см; 8/320 = 1/40. Пропорция выполняется, масштаб тот же.
7. 2 м = 200 см. 4/200 = 1/50, не 1/40. Для 2 м нужно 5 см на плане: 5/200 = 1/40.
8. 1,4 м = 140 см; 3,5/140 = 1/40 = 6/240. Да, 3,5 см соответствует масштабу.
9. 4/x = 6/240 ⇒ x = 4·240/6 = 160 см = 1,6 м.
10. Суммарная реальная длина 3 м = 300 см. По пропорции x/300 = 6/240 получаем 7,5 см. Отдельно это 4,5 см + 3 см = 7,5 см.
11. После перевода длин: 3/120 = 4,5/180 = 1/40. Также отношение самих плановых длин 3:4,5 = 2:3 совпадает с 120:180 = 2:3. Пропорция составлена верно.
12. 2,5 м = 250 см. 5/250 = 1/50, поэтому нет. При 1:40 для 2,5 м требуются 250/40 = 6,25 см.
13. 12/x = 6/240 ⇒ x = 12·240/6 = 480 см = 4,8 м. Проверка 12:480 = 1:40.

Вторая проверка — две формы одной и той же пропорции

Любую пару «план — реальность» можно прочитать в обратном порядке, но нельзя изменить направление только у одной пары. Из 6/240 = x/260 следует также 240/6 = 260/x, и обе записи приводят к x = 6,5 см. Ошибочна смешанная запись 6/240 = 260/x: она меняет порядок только справа. Если вычисление привело к плановой длине в несколько метров для обычного школьного листа, проверьте именно порядок величин.

Контроль разумности ответа

Если действительная длина выросла, изображение при неизменном масштабе тоже должно вырасти в том же отношении. Отрезок 4 см не может соответствовать 2 м при масштабе 1:40: это проверяется вычислением 4:200, дающим 1:50. Для проверки достаточно умножить любую плановую длину на 40: получите действительную длину в сантиметрах.

Самая распространённая ошибка — подставить 2,4 в знаменатель вместо 240, объявив 6:2,4 масштабом 1:40. В такой записи единицы разные: сантиметры и метры. Пропорция 6 см / 2,4 м может служить коэффициентом перевода «см плана на м оригинала», но не является безразмерным масштабом. Для масштаба приводят обе длины к одной единице.

Второе затруднение — записать x = 240·L/6 вместо x = 6·L/240. Проверяйте направление: длина плана должна быть значительно меньше действительной при 1:40. Ответ для шкафа в тысячи сантиметров сразу указывает на перевёрнутую пропорцию.