Проверочная работа: медиана треугольника по координатам на рисунке — 7 класс

Координатный рисунок · 7 класс. На работу 20 минут. Имя ученика: ____________________ Дата: ___________

Две печатные сетки со значениями x и y; перед печатью при необходимости уменьшите масштаб страницы браузера.

Смотри на рисунок, а не угадывай по наклону

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Она не обязана быть вертикальной, горизонтальной или перпендикулярной. Координаты записываем в порядке (x; y). При работе по клеткам середину ищем, отсчитывая равные смещения по x и y. Если правило середины координат ещё не проходили, достаточно прочитать рисунки по клеткам.

Рисунок 1. Треугольник ABC и точки M, N, P

Пары точек на сторонах: M на BC, N на AC, P на AB. Сетка схематическая; обозначения расположены в целых координатах. Точки соединяй линейкой на распечатке.

Рисунок 2. Другая конфигурация

Во втором рисунке одинаковые буквы обозначают новые точки: обязательно пользуйся выбранной сеткой.

Перед началом: как читать клетчатую плоскость

Оси пересекаются в O(0; 0). На горизонтальной оси вправо значения x возрастают, влево — убывают. На вертикальной оси вверх возрастают значения y, вниз — убывают. Если точка A имеет координаты (−4; 2), от O отступают четыре клетки влево и две вверх. Перестановка местами чисел даёт другую точку (2; −4), поэтому порядок записи существенно важен.

На первом рисунке сторона AB параллельна оси x, потому что у A и B одинаковая координата y = 2. Середину этой стороны проще всего найти подсчётом горизонтальных клеток: между −4 и 2 шесть единичных шагов, половина — три шага, так что x середины равен −1. Получаем P(−1; 2). Сразу понятно, почему CP — медиана, а BP — нет: у отрезка BP один конец уже находится на стороне AB, а другой не является противоположной вершиной.

На второй сетке B(3; −1) и C(1; 3) лежат на диагонали. Чтобы получить M, нужно пройти от B к C два шага влево и четыре вверх, а затем взять половину каждого смещения: один влево и два вверх. Так получаем M(2; 1), без измерения диагональной длины линейкой.

Если в школьной программе уже изучено правило середины отрезка, можно сверять результат арифметически: координаты середины — средние арифметические соответствующих координат концов. Для B(3; −1), C(1; 3): ((3 + 1) : 2; (−1 + 3) : 2) = (2; 1). Если формула ещё не изучена, тот же результат видно по клеткам.

Обрати внимание на названия: для медианы из A нужно выбрать середину BC, а не AB или AC. Для медианы из B — середину AC, а для медианы из C — середину AB. Когда все три отрезка проведены, они пересекаются в одной точке; вычислять её координаты в этой проверочной работе не требуется.

Проверочная работа для ученика

Понимание определения (1–10)

1. На рисунке 1 назови координаты вершин A, B, C.
2. Укажи точку — середину стороны BC на рисунке 1.
3. Из какой вершины выходит медиана к стороне BC? Как называется отрезок?
4. Запиши координаты точки N — середины AC.
5. Какая медиана соединяет B с точкой N?
6. Какая медиана соединяет C с точкой P?
7. Верно ли, что отрезок BP на рисунке 1 — медиана? Объясни.
8. Почему на рисунке 1 точка M действительно середина BC? Сравни половины отрезка.
9. Сколько медиан можно провести в одном треугольнике?
10. Обязательно ли медиана перпендикулярна стороне, на которую опущена?

Считай клетки и доказывай (11–20)

11. На рисунке 2 назови координаты A, B, C.
12. Определи середину стороны AB, записав координаты P.
13. Найди координаты M, середины BC, по клеткам рисунка 2.
14. Найди координаты N, середины AC, по клеткам рисунка 2.
15. Какие три отрезка являются медианами на рисунке 2?
16. Верно ли, что N — середина AB на рисунке 2?
17. Середина отрезка с концами (−4; 2) и (2; 2) — какая точка? Назови её по рисунку 1.
18. Можно ли на рисунке 2 назвать AM медианой, если M — середина BC?
19. Ученик выбрал середину AB и соединил её с A. Исправь построение медианы к AB.
20. Сформулируй определение медианы без координат и укажи её на любом рисунке.

Ответы и пояснения

Ключ отделён от задач. Для каждой точки сначала прочитай x по горизонтали, затем y по вертикали.

1. A(−4; 2), B(2; 2), C(0; −2).
2. M(1; 0).
3. Из A; медиана AM.
4. N(−2; 0).
5. BN.
6. CP.
7. Нет. P лежит на стороне AB, а медиана из B должна вести к середине AC — к N.
8. B(2; 2), C(0; −2). M(1; 0) находится посередине по обеим координатам; BM = MC.
9. Три — по одной из каждой вершины.
10. Нет, перпендикулярность определяет высоту, а не медиану.
11. A(−3; −1), B(3; −1), C(1; 3).
12. P(0; −1).
13. M(2; 1).
14. N(−1; 1).
15. AM, BN, CP.
16. Нет: N — середина AC; середина AB — P.
17. P(−1; 2).
18. Да: точка M — середина BC, а A — противоположная вершина.
19. Нужно соединить середину AB (точку P) с противоположной вершиной C: CP.
20. Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны; например, AM.

Как проверить себя

Задача засчитывается, если правильно названы обе координаты и основание медианы. Для середины проверь: от точки M до B и до C — одинаковые изменения координат по модулю. Если при рисовании медиана упирается не в середину противоположной стороны, решение нужно пересмотреть. Максимум 20 баллов: по одному за задание; для 8 и 19 важен словесный довод.

Учителю: две сетки дают возможность предложить первую как тренировку, а вторую как самостоятельную. Не требуется вычислять расстояния с помощью корней: тема — распознавание середины и медианы на координатном рисунке.

Проверь, что буквы на сетке подписаны у точек, а не у ближайших клеток. При чтении координат отметки осей считаются линиями сетки: точка с y = 0 лежит на оси x, даже если отметка расположена далеко от начала координат. При путанице с отрицательными числами сначала проведи из точки мысленные горизонтальный и вертикальный отрезки к осям.