Разбор типичных ошибок: решение задач о совместной работе с дробями — 8 класс

Математика · 8 класс. Мини-тест с типичными ловушками и дополнительной серией. Сначала 8 вопросов с проверкой смысла, затем 10 самостоятельных задач на производительность. Имя: __________________________ Дата: ______________

Почему нельзя складывать часы

Если первый исполнитель делает всю работу за a часов, за один час он выполняет 1/a работы. Второй за b часов выполняет 1/b работы. Вместе за час они выполняют 1/a + 1/b, а время совместной работы равно T = 1/(1/a + 1/b) = ab/(a + b). Не путайте «часов на всю работу» с «долями работы за час». Если один из работников трудится только часть времени, учитывают выполненную им долю, а не добавляют часы наугад.

Пример ошибки: «Первый за 6 часов, второй за 3 часа, значит вместе за 9 часов». Это противоречит смыслу: двое работающих одновременно не должны тратить больше времени, чем один из них. Правильно: 1/6 + 1/3 = 1/2 работы в час, а всю работу они выполнят за 2 часа.

Мини-тест: впишите ответ и объясните

1. Мастер выполняет заказ за 12 ч, ученик — за 6 ч. Сколько часов они работают вместе? Ответ/ход: ______________________________________

2. Один насос наполняет бак за 8 ч, другой тоже за 8 ч. Вместе? Ответ/ход: ______________________________________

3. Рабочие поодиночке тратят 10 ч и 15 ч. За сколько часов они выполнят работу одновременно? Ответ/ход: ______________________________________

4. Один ученик оформляет плакат за 9 ч, другой — за 18 ч. Вместе? Ответ/ход: ______________________________________

5. А выполняет 1/5 работы в час, Б — 1/10 работы в час. Какая часть будет готова за 2 ч вместе? Ответ/ход: ______________________________________

6. Двое работали 3 ч с общей производительностью 1/6 работы в час. Что осталось? Ответ/ход: ______________________________________

7. Первый самостоятельно закончит за 4 ч, второй — за 12 ч. Время вдвоём? Ответ/ход: ______________________________________

8. Первый выполняет заказ за 18 ч, второй — за 9 ч. Время вдвоём? Ответ/ход: ______________________________________

Разбор каждого ответа: какой неверный ход был бы заманчив

В вопросах 1–4 неверно складывать время работы, потому что исполнители действуют одновременно. В вопросах 5 и 6 важно соблюдать единицы: дробь «работы в час» умножается на число часов. В вопросах 7–8 время совместной работы должно быть меньше меньшего индивидуального времени; это простая оценка ещё до точного решения.

Закрепление: десять ситуаций без готовой формулы

9. Два устройства выполняют одинаковый объём работы отдельно за 6 ч и за 12 ч. За какое время они выполнят его вместе без перерывов? Ответ/ход: ______________________________________

10. Два устройства выполняют одинаковый объём работы отдельно за 12 ч и за 12 ч. За какое время они выполнят его вместе без перерывов? Ответ/ход: ______________________________________

11. Два устройства выполняют одинаковый объём работы отдельно за 15 ч и за 10 ч. За какое время они выполнят его вместе без перерывов? Ответ/ход: ______________________________________

12. Два устройства выполняют одинаковый объём работы отдельно за 20 ч и за 30 ч. За какое время они выполнят его вместе без перерывов? Ответ/ход: ______________________________________

13. Два устройства выполняют одинаковый объём работы отдельно за 12 ч и за 24 ч. За какое время они выполнят его вместе без перерывов? Ответ/ход: ______________________________________

14. Два устройства выполняют одинаковый объём работы отдельно за 14 ч и за 21 ч. За какое время они выполнят его вместе без перерывов? Ответ/ход: ______________________________________

15. Два устройства выполняют одинаковый объём работы отдельно за 16 ч и за 16 ч. За какое время они выполнят его вместе без перерывов? Ответ/ход: ______________________________________

16. Два устройства выполняют одинаковый объём работы отдельно за 18 ч и за 36 ч. За какое время они выполнят его вместе без перерывов? Ответ/ход: ______________________________________

17. Два устройства выполняют одинаковый объём работы отдельно за 8 ч и за 24 ч. За какое время они выполнят его вместе без перерывов? Ответ/ход: ______________________________________

18. Два устройства выполняют одинаковый объём работы отдельно за 9 ч и за 6 ч. За какое время они выполнят его вместе без перерывов? Ответ/ход: ______________________________________

Важная проверка. Для реальной совместной работы предполагается неизменная производительность и отсутствие помех друг другу. Если исполнители мешают друг другу, простая модель может не подходить; здесь условия специально выбраны для стандартной математической модели.

Ключ для учителя и самопроверки

Сначала выполните ученическую часть без подсказок. Ниже приведены ответы и короткие обоснования; при печати для школьников распечатывайте страницы документа до раздела с ключом. Не выдавайте ученикам ключ одновременно с карточкой.

1. 4 ч. — 1/12 + 1/6 = 3/12 = 1/4 работы в час.

2. 4 ч. — Два одинаковых потока дают скорость 1/8 + 1/8 = 1/4 бака в час.

3. 6 ч. — 1/10 + 1/15 = 1/6.

4. 6 ч. — 1/9 + 1/18 = 1/6.

5. 3/5 работы. — 2 × (1/5 + 1/10) = 2 × 3/10 = 3/5.

6. 1/2 работы. — Выполнено 3/6 = 1/2 работы.

7. 3 ч. — 1/4 + 1/12 = 1/3 работы в час.

8. 6 ч. — 1/18 + 1/9 = 1/6 работы в час.

9. 4 ч. — Производительность 1/6 + 1/12 = 1/4 работы/ч; время — обратная дробь. Проверка: 4/6 + 4/12 = 1.

10. 6 ч. — Производительность 1/12 + 1/12 = 1/6 работы/ч; время — обратная дробь. Проверка: 6/12 + 6/12 = 1.

11. 6 ч. — Производительность 1/15 + 1/10 = 1/6 работы/ч; время — обратная дробь. Проверка: 6/15 + 6/10 = 1.

12. 12 ч. — Производительность 1/20 + 1/30 = 1/12 работы/ч; время — обратная дробь. Проверка: 12/20 + 12/30 = 1.

13. 8 ч. — Производительность 1/12 + 1/24 = 1/8 работы/ч; время — обратная дробь. Проверка: 8/12 + 8/24 = 1.

14. 42/5 ч. — Производительность 1/14 + 1/21 = 5/42 работы/ч; время — обратная дробь. Проверка: 42/5/14 + 42/5/21 = 1.

15. 8 ч. — Производительность 1/16 + 1/16 = 1/8 работы/ч; время — обратная дробь. Проверка: 8/16 + 8/16 = 1.

16. 12 ч. — Производительность 1/18 + 1/36 = 1/12 работы/ч; время — обратная дробь. Проверка: 12/18 + 12/36 = 1.

17. 6 ч. — Производительность 1/8 + 1/24 = 1/6 работы/ч; время — обратная дробь. Проверка: 6/8 + 6/24 = 1.

18. 18/5 ч. — Производительность 1/9 + 1/6 = 5/18 работы/ч; время — обратная дробь. Проверка: 18/5/9 + 18/5/6 = 1.

Как проверить себя

В любой задаче сначала выпишите 1/a и 1/b и сложите именно производительности. Затем проверьте: суммарная работа за T часов равна T/a + T/b = 1. Время вместе строго меньше каждого времени по отдельности, если оба работают с положительной скоростью.

Материал рассчитан на 8 класс. В школах России и Казахстана последовательность тем может различаться; учитель выбирает упражнения после изучения соответствующих правил.