Карточка с объяснениями: вычисление произведения чисел через разность квадратов — 7 класс

Лист рассчитан на работу в паре: ученик А объясняет, почему два множителя симметричны относительно круглого числа, а ученик Б проверяет преобразование. Затем роли меняются. Цель — узнать форму (a − b)(a + b) и вычислить произведение как разность квадратов. Полезно для устного счёта и проверки письменных вычислений в 7 классе.

Инструкция для пары

Запишите рядом с произведением два числа: середину a и расстояние b от середины до каждого множителя. Затем примените тождество (a − b)(a + b) = a² − b². Например, 48 · 52 = (50 − 2)(50 + 2) = 2500 − 4 = 2496. Стороны можно менять местами: произведение не изменится. Если числа не расположены симметрично относительно удобной середины, этот приём может не дать выигрыша.

Общий образец и проверка

Для произведения 97 · 103 удобно взять середину 100: 100² − 3² = 10 000 − 9 = 9991. Приблизительная оценка тоже помогает: оба множителя близки к 100, значит ответ близок к 10 000, а не к 1000. Проверка выполняется умножением в столбик, либо обратным рассуждением: если 100² = 10 000, то произведение двух равноотстоящих от 100 чисел всегда меньше 10 000 на квадрат расстояния.

Карточка А. Объясни соседу ход вычисления

1. 19 · 21 = __________
2. 29 · 31 = __________
3. 38 · 42 = __________
4. 47 · 53 = __________
5. 58 · 62 = __________
6. 67 · 73 = __________
7. 88 · 92 = __________
8. 96 · 104 = __________
9. 109 · 111 = __________
10. 119 · 121 = __________
11. 198 · 202 = __________
12. 297 · 303 = __________

Карточка Б. Проверь партнёра и поменяй роли

Ученик Б теперь решает первым. Не показывайте предыдущий лист: вторая серия независимая, а числа и отклонения от середины отличаются. В двух примерах середина находится между сотнями; запишите её до возведения в квадрат.

13. 24 · 26 = __________
14. 39 · 41 = __________
15. 56 · 64 = __________
16. 74 · 86 = __________
17. 94 · 106 = __________
18. 144 · 156 = __________
19. 199 · 201 = __________
20. 248 · 252 = __________
21. 398 · 402 = __________
22. 497 · 503 = __________
23. 69 · 71 = __________
24. 149 · 151 = __________

Вопросы после обмена работами

Попросите партнёра объяснить, почему в примере 398 · 402 нужно вычитать именно 2², а не 4². Вычислите одно произведение двумя способами и сравните время. При взаимопроверке главное — не только итоговое число, но и запись середины двух множителей: ошибочный выбор середины часто даёт правдоподобный, но неверный ответ.

Ключ для обеих карточек

1. 19 · 21 = 20² − 1² = 400 − 1 = 399.
2. 29 · 31 = 30² − 1² = 900 − 1 = 899.
3. 38 · 42 = 40² − 2² = 1600 − 4 = 1596.
4. 47 · 53 = 50² − 3² = 2500 − 9 = 2491.
5. 58 · 62 = 60² − 2² = 3600 − 4 = 3596.
6. 67 · 73 = 70² − 3² = 4900 − 9 = 4891.
7. 88 · 92 = 90² − 2² = 8100 − 4 = 8096.
8. 96 · 104 = 100² − 4² = 10000 − 16 = 9984.
9. 109 · 111 = 110² − 1² = 12100 − 1 = 12099.
10. 119 · 121 = 120² − 1² = 14400 − 1 = 14399.
11. 198 · 202 = 200² − 2² = 40000 − 4 = 39996.
12. 297 · 303 = 300² − 3² = 90000 − 9 = 89991.
13. 24 · 26 = 25² − 1² = 625 − 1 = 624.
14. 39 · 41 = 40² − 1² = 1600 − 1 = 1599.
15. 56 · 64 = 60² − 4² = 3600 − 16 = 3584.
16. 74 · 86 = 80² − 6² = 6400 − 36 = 6364.
17. 94 · 106 = 100² − 6² = 10000 − 36 = 9964.
18. 144 · 156 = 150² − 6² = 22500 − 36 = 22464.
19. 199 · 201 = 200² − 1² = 40000 − 1 = 39999.
20. 248 · 252 = 250² − 2² = 62500 − 4 = 62496.
21. 398 · 402 = 400² − 2² = 160000 − 4 = 159996.
22. 497 · 503 = 500² − 3² = 250000 − 9 = 249991.
23. 69 · 71 = 70² − 1² = 4900 − 1 = 4899.
24. 149 · 151 = 150² − 1² = 22500 − 1 = 22499.

Как проверить результат без ключа

Первый способ: перемножить исходные числа столбиком. Второй способ: проверить число a как полусумму множителей и число b как половину их разности. Третий способ: приблизительная оценка — каждое произведение немногим меньше квадрата центрального числа. Например, для 297 · 303 число 300² = 90 000, значит ответ 89 991 разумен.

При оценивании договоритесь о двух пунктах за задачу: один за верную модель a² − b², второй за арифметику. Это позволит понять, что нужно исправить: распознавание структуры или вычислительную аккуратность. Если ученик затрудняется, вернитесь к симметричной схеме на числовом луче: a − b — a — a + b. Ученику достаточно распечатать карточки А и Б; ключ оставьте отдельно.

Когда формула удобна, а когда нет

Произведения 49 · 51 и 148 · 152 узнаются легко: середины 50 и 150, расстояния 1 и 2. Поэтому 49 · 51 = 2500 − 1, а 148 · 152 = 22500 − 4. Если же дано 47 · 52, середина равна 49,5 и расстояние равно 2,5: формула остаётся верной, но десятичные квадраты могут оказаться неудобнее обычного умножения. Для этой карточки специально подобраны пары с целыми серединами и простыми квадратами отклонений.

Обратите внимание на слова «через разность квадратов»: нельзя превращать произведение (a − b)(a + b) в (a − b)². Например, 19 · 21 = 20² − 1² = 399, а 19² равно 361. Эти вычисления по смыслу разные. Проверка соседней оценкой позволяет заметить, что в первом случае результат должен быть почти равен 400.

Сценарий взаимопроверки на уроке

Первый ученик решает номера 1–12 и проговаривает: «середина, отклонение, квадрат середины, квадрат отклонения». Второй не смотрит в ключ и вычисляет исходное произведение другим способом. Затем они меняются карточками и повторяют процедуру для номеров 13–24. Ошибку отмечают на том этапе, где решения разошлись. Такой способ полезнее простого объявления ответа: ученик учится находить неверный переход между равными выражениями.

Домашнее закрепление: выберите три произвольных круглых числа, например 20, 70 и 200, затем придумайте для каждого два симметричных множителя, которые отстоят от середины на 1, 2 или 3. Для каждой пары проверьте произведение формулой и обычным вычислением. Это упражнение не входит в 24 номера и может быть дополнительным заданием по желанию.