Диагностика навыка: комбинация двух формул в одном выражении — 7 класс

В этом практикуме в одном выражении встречаются две формулы сокращённого умножения. Иногда удобно раскрыть два квадрата суммы или разности, иногда — применить разность квадратов и затем собрать подобные. Для 7 класса важнее не скорость, а план действий: отметьте, к каким частям применима каждая формула, прежде чем что-либо раскрывать.

Мини-тест. Сначала реши, затем раскрой ключ

Первые восемь выражений — диагностические. Дайте учащемуся 12–15 минут; после решения попросите подписать над двумя частями выражения названия использованных формул. В каждом пункте нужно упростить выражение, а не подставлять отдельное значение x.

1. (x + 2)² − (x − 3)² = __________
2. (x + 3)² − (x − 2)² = __________
3. (x + 4)² − (x − 1)² = __________
4. (x + 5)² − (x − 4)² = __________
5. (x + 6)² − (x − 2)² = __________
6. (x + 7)² − (x − 3)² = __________
7. (x + 8)² − (x − 5)² = __________
8. (x + 9)² − (x − 1)² = __________

Проверка: два способа дают один результат

Возьмём (x + 2)² − (x − 3)². Раскрытие двух квадратов даёт x² + 4x + 4 − (x² − 6x + 9) = 10x − 5. Но всю запись можно рассмотреть как разность квадратов: [(x + 2) − (x − 3)] · [(x + 2) + (x − 3)] = 5(2x − 1) = 10x − 5. Проверка подстановкой x = 1: слева 9 − 4 = 5, справа 10 − 5 = 5.

Вторая серия. Комбинируй квадрат суммы с разностью квадратов

9. (x + 2)² − (x − 1)(x + 1) = __________
10. (x + 3)² − (x − 2)(x + 2) = __________
11. (x + 4)² − (x − 3)(x + 3) = __________
12. (x + 5)² − (x − 1)(x + 1) = __________
13. (x + 6)² − (x − 4)(x + 4) = __________
14. (x + 7)² − (x − 2)(x + 2) = __________
15. (x + 8)² − (x − 3)(x + 3) = __________
16. (x + 9)² − (x − 4)(x + 4) = __________
17. (x + 10)² − (x − 5)(x + 5) = __________
18. (x + 12)² − (x − 7)(x + 7) = __________

Третья серия. После двух формул останется квадратный трёхчлен

Не обязательно раскрывать все скобки подряд. В выражениях ниже сначала обработайте каждый из двух блоков, затем сложите результаты. В последней строке объясните, почему член x² не исчезает: это отличает задачи с суммой квадратов от разности квадратов.

19. (x − 2)² + (x − 4)(x + 4) = __________
20. (x − 3)² + (x − 5)(x + 5) = __________
21. (x − 4)² + (x − 2)(x + 2) = __________
22. (x − 5)² + (x − 6)(x + 6) = __________
23. (x − 6)² + (x − 3)(x + 3) = __________
24. (x − 7)² + (x − 4)(x + 4) = __________
25. (x − 8)² + (x − 6)(x + 6) = __________
26. (x − 9)² + (x − 2)(x + 2) = __________

Ответы с указанием двух шагов

1. 10x − 5. Первый квадрат: x² + 4x + 4. Второй квадрат: x² − 6x + 9. Вычтем второй многочлен целиком и приведём подобные.
2. 10x + 5. Первый квадрат: x² + 6x + 9. Второй квадрат: x² − 4x + 4. Вычтем второй многочлен целиком и приведём подобные.
3. 10x + 15. Первый квадрат: x² + 8x + 16. Второй квадрат: x² − 2x + 1. Вычтем второй многочлен целиком и приведём подобные.
4. 18x + 9. Первый квадрат: x² + 10x + 25. Второй квадрат: x² − 8x + 16. Вычтем второй многочлен целиком и приведём подобные.
5. 16x + 32. Первый квадрат: x² + 12x + 36. Второй квадрат: x² − 4x + 4. Вычтем второй многочлен целиком и приведём подобные.
6. 20x + 40. Первый квадрат: x² + 14x + 49. Второй квадрат: x² − 6x + 9. Вычтем второй многочлен целиком и приведём подобные.
7. 26x + 39. Первый квадрат: x² + 16x + 64. Второй квадрат: x² − 10x + 25. Вычтем второй многочлен целиком и приведём подобные.
8. 20x + 80. Первый квадрат: x² + 18x + 81. Второй квадрат: x² − 2x + 1. Вычтем второй многочлен целиком и приведём подобные.
9. 4x + 5. Квадрат суммы раскрывается как x² + 4x + 4; сопряжённые скобки дают x² − 1. Вычитаем второе выражение, а затем сокращаем x².
10. 6x + 13. Квадрат суммы раскрывается как x² + 6x + 9; сопряжённые скобки дают x² − 4. Вычитаем второе выражение, а затем сокращаем x².
11. 8x + 25. Квадрат суммы раскрывается как x² + 8x + 16; сопряжённые скобки дают x² − 9. Вычитаем второе выражение, а затем сокращаем x².
12. 10x + 26. Квадрат суммы раскрывается как x² + 10x + 25; сопряжённые скобки дают x² − 1. Вычитаем второе выражение, а затем сокращаем x².
13. 12x + 52. Квадрат суммы раскрывается как x² + 12x + 36; сопряжённые скобки дают x² − 16. Вычитаем второе выражение, а затем сокращаем x².
14. 14x + 53. Квадрат суммы раскрывается как x² + 14x + 49; сопряжённые скобки дают x² − 4. Вычитаем второе выражение, а затем сокращаем x².
15. 16x + 73. Квадрат суммы раскрывается как x² + 16x + 64; сопряжённые скобки дают x² − 9. Вычитаем второе выражение, а затем сокращаем x².
16. 18x + 97. Квадрат суммы раскрывается как x² + 18x + 81; сопряжённые скобки дают x² − 16. Вычитаем второе выражение, а затем сокращаем x².
17. 20x + 125. Квадрат суммы раскрывается как x² + 20x + 100; сопряжённые скобки дают x² − 25. Вычитаем второе выражение, а затем сокращаем x².
18. 24x + 193. Квадрат суммы раскрывается как x² + 24x + 144; сопряжённые скобки дают x² − 49. Вычитаем второе выражение, а затем сокращаем x².
19. 2x² − 4x − 12. Первый квадрат даёт x² − 4x + 4, второе произведение — x² − 16. После сложения получаем два члена x², которые объединяются в 2x².
20. 2x² − 6x − 16. Первый квадрат даёт x² − 6x + 9, второе произведение — x² − 25. После сложения получаем два члена x², которые объединяются в 2x².
21. 2x² − 8x + 12. Первый квадрат даёт x² − 8x + 16, второе произведение — x² − 4. После сложения получаем два члена x², которые объединяются в 2x².
22. 2x² − 10x − 11. Первый квадрат даёт x² − 10x + 25, второе произведение — x² − 36. После сложения получаем два члена x², которые объединяются в 2x².
23. 2x² − 12x + 27. Первый квадрат даёт x² − 12x + 36, второе произведение — x² − 9. После сложения получаем два члена x², которые объединяются в 2x².
24. 2x² − 14x + 33. Первый квадрат даёт x² − 14x + 49, второе произведение — x² − 16. После сложения получаем два члена x², которые объединяются в 2x².
25. 2x² − 16x + 28. Первый квадрат даёт x² − 16x + 64, второе произведение — x² − 36. После сложения получаем два члена x², которые объединяются в 2x².
26. 2x² − 18x + 77. Первый квадрат даёт x² − 18x + 81, второе произведение — x² − 4. После сложения получаем два члена x², которые объединяются в 2x².

Разбор частых ошибок и рекомендации по оценке

Чаще всего ученики неверно раскрывают квадрат разности: (x − b)² = x² − 2bx + b², поэтому последний член положительный. Вторая ошибка — потеря минуса перед скобкой в выражении A − (B): меняются знаки всех слагаемых B, а не только первого. В третьей серии квадрат разности складывается с разностью квадратов, поэтому x² + x² = 2x², и этого не нужно пугаться: исчезновение старших членов возможно не всегда.

За один пункт можно начислять два балла: за корректное применение двух формул и за окончательное упрощение. После самопроверки попросите выбрать две ошибочные работы и переписать их с расставленными скобками. Дополнительный способ контроля: подставить x = 0 и x = 1 как в исходную форму, так и в упрощённую — оба результата должны совпасть. Такая числовая проверка не является доказательством тождества, но быстро помогает найти арифметическую опечатку.

Для самостоятельного повторения ученик может взять любой номер из третьей серии и решить его сначала раскрытием скобок, а затем с промежуточной записью: (x − a)² + (x² − b²). Сравнение двух решений показывает, что разность квадратов удобнее распознавать до прямого умножения скобок. Упражнения 1–8 подходят для мини-контроля; остальные — для полноценного урока или домашнего практикума.

Почему ответы разных серий имеют разный вид

В первой серии старшие члены взаимно уничтожаются: x² − x² = 0, остаётся линейное выражение. Во второй серии тоже остаётся линейное выражение, но причиной становится вычитание произведения сопряжённых скобок, уже равного x² − b². В третьей серии два старших члена складываются, поэтому итог представляет собой квадратный трёхчлен. Этот признак можно использовать как независимую самопроверку: ответ третьей серии без члена 2x² требует повторной проверки знаков.

Сравните номера из разных групп на x = 0. Так можно очень быстро определить правильность свободного члена, поскольку все выражения с x обращаются в ноль. Потом подставьте x = 1 и проверьте коэффициент при x. Но главным доказательством остаётся тождественное преобразование для любого допустимого x. Если обнаружено несовпадение только в свободном члене, ищите ошибку в квадрате константы; если отличается коэффициент при x, проверьте удвоенное произведение.

Для сильного ученика полезно отдельно объяснить, почему две формулы нельзя применять без скобок. Запись (x + a)² − (x − b)² содержит знак минус перед всем вторым квадратом, а не перед одним его членом. При раскрытии x² − 2bx + b² из него вычитается и x², и −2bx, и b²; поэтому знак среднего члена становится положительным. Именно здесь встречается больше всего ошибок даже при правильном запоминании формул.