Исправление ошибки при возведении суммы в квадрат для 7 класса — упражнения с решениями

Ошибку при возведении суммы в квадрат легко не заметить, если ученик просто помнит «квадрат первого плюс квадрат второго». Настоящая формула содержит три слагаемых: (a + b)² = a² + 2ab + b². В этой работе ученик выступает проверяющим: читает неверную запись, называет ошибочный шаг и исправляет его. Главный навык — объяснение, а не угадывание готового ответа.

Сначала найди закономерность на простом примере

Сравним (2 + 3)² = 25 и 2² + 3² = 13. Разница составляет 12, то есть два произведения 2 · 3. При раскрытии (a + b)(a + b) появляются четыре произведения: a², ab, ba, b². Поэтому 2ab нельзя пропускать. Чтобы проверять работу, удобно предварительно выписать крайние квадраты, затем отдельно найти 2ab и только после этого складывать.

Этап 1. Найди одну ошибку и перепиши правильно

1. В тетради записано: (x + 3)² = x² + 9. Объясни ошибку и запиши правильное равенство.
2. В тетради записано: (x + 5)² = x² + 5x + 25. Объясни ошибку и запиши правильное равенство.
3. В тетради записано: (2x + 1)² = 4x² + 2x + 1. Объясни ошибку и запиши правильное равенство.
4. В тетради записано: (3x + 2)² = 9x² + 6x + 4. Объясни ошибку и запиши правильное равенство.
5. В тетради записано: (x + 7)² = x² + 7x + 49. Объясни ошибку и запиши правильное равенство.
6. В тетради записано: (2a + 5)² = 4a² + 10a + 25. Объясни ошибку и запиши правильное равенство.
7. В тетради записано: (4y + 1)² = 16y² + 4y + 1. Объясни ошибку и запиши правильное равенство.
8. В тетради записано: (5t + 3)² = 25t² + 15t + 9. Объясни ошибку и запиши правильное равенство.
9. В тетради записано: (x + 10)² = x² + 10x + 100. Объясни ошибку и запиши правильное равенство.
10. В тетради записано: (6p + 2)² = 36p² + 12p + 4. Объясни ошибку и запиши правильное равенство.
11. В тетради записано: (2m + 3)² = 4m² + 6m + 9. Объясни ошибку и запиши правильное равенство.
12. В тетради записано: (3n + 4)² = 9n² + 12n + 16. Объясни ошибку и запиши правильное равенство.

Этап 2. Исправь ошибку и проверь численно

13. Проверяющий получил 21² = 400 + 1 = 401. Исправь вычисление и укажи забытое слагаемое.
14. Проверяющий получил 32² = 900 + 4 = 904. Исправь вычисление и укажи забытое слагаемое.
15. Проверяющий получил 43² = 1600 + 9 = 1609. Исправь вычисление и укажи забытое слагаемое.
16. Проверяющий получил 51² = 2500 + 1 = 2501. Исправь вычисление и укажи забытое слагаемое.

Этап 3. Объясни, почему рассуждение неверно

17. Ученик утверждает: «В (a + b)² средний член всегда равен ab». Приведи контрпример с конкретными числами.
18. Ученик записал (−x + 4)² = x² + 8x + 16. Исправь знак среднего члена и проверь раскрытием скобок.

Ключ и пояснения после самостоятельной попытки

1. (x + 3)² = x² + 6x + 9. В ложной записи неправильно найден или пропущен удвоенный смешанный член.
2. (x + 5)² = x² + 10x + 25. В ложной записи неправильно найден или пропущен удвоенный смешанный член.
3. (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1. В ложной записи неправильно найден или пропущен удвоенный смешанный член.
4. (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4. В ложной записи неправильно найден или пропущен удвоенный смешанный член.
5. (x + 7)² = x² + 14x + 49. В ложной записи неправильно найден или пропущен удвоенный смешанный член.
6. (2a + 5)² = 4a² + 20a + 25. В ложной записи неправильно найден или пропущен удвоенный смешанный член.
7. (4y + 1)² = 16y² + 8y + 1. В ложной записи неправильно найден или пропущен удвоенный смешанный член.
8. (5t + 3)² = 25t² + 30t + 9. В ложной записи неправильно найден или пропущен удвоенный смешанный член.
9. (x + 10)² = x² + 20x + 100. В ложной записи неправильно найден или пропущен удвоенный смешанный член.
10. (6p + 2)² = 36p² + 24p + 4. В ложной записи неправильно найден или пропущен удвоенный смешанный член.
11. (2m + 3)² = 4m² + 12m + 9. В ложной записи неправильно найден или пропущен удвоенный смешанный член.
12. (3n + 4)² = 9n² + 24n + 16. В ложной записи неправильно найден или пропущен удвоенный смешанный член.
13. 21² = 20² + 2 · 20 · 1 + 1² = 441. В ложной записи неправильно найден или пропущен удвоенный смешанный член.
14. 32² = 30² + 2 · 30 · 2 + 2² = 1024. В ложной записи неправильно найден или пропущен удвоенный смешанный член.
15. 43² = 40² + 2 · 40 · 3 + 3² = 1849. В ложной записи неправильно найден или пропущен удвоенный смешанный член.
16. 51² = 50² + 2 · 50 · 1 + 1² = 2601. В ложной записи неправильно найден или пропущен удвоенный смешанный член.
17. При a = 2 и b = 3 средний член равен 2ab = 12, а ab = 6. Средний член вдвое больше произведения.
18. (−x + 4)² = x² − 8x + 16. Средний член равен 2 · (−x) · 4 = −8x.

Как проверить без подсказки из ключа

Раскройте квадрат как произведение двух одинаковых скобок. Например, (2a + 5)² = (2a + 5)(2a + 5) = 4a² + 10a + 10a + 25 = 4a² + 20a + 25. Второй способ — подстановка простого значения переменной. Если при a = 1 левая и правая части не равны, формула применена неправильно; если равны, это только проверка одного значения, а не доказательство.

Оцените исправления по двум признакам: найден неверный член и записана верная формула. При 15–18 верных пояснениях переходите к самостоятельному раскрытию скобок; при 10–14 повторите происхождение двух произведений ab; при меньшем результате потренируйтесь на числовых квадратах. Для распечатки предназначены три этапа до заголовка «Ключ»; ответы удобнее сохранить на отдельном листе для взрослого.

Карта ошибок: что повторить после проверки

Если ученик в каждом примере пишет только два квадрата, нужно вернуть геометрический смысл формулы: два прямоугольника со сторонами a и b дают вместе площадь 2ab. Если средний член появляется, но его коэффициент вдвое меньше правильного, просите считать два произведения отдельно. Если ошибка касается старшего члена, проверьте правило (ka)² = k²a²: например, (3x)² равно 9x², а не 3x².

Различайте два вида неточностей. В равенстве (x + 5)² = x² + 5x + 25 пропущена половина среднего коэффициента. В равенстве (3x + 2)² = 9x² + 6x + 4 первый и последний члены найдены верно, но произведение 3x · 2 посчитано один раз вместо двух. Для каждой ошибки можно подписать короткую пометку «смешанный член» — такая адресная обратная связь полезнее общей оценки «невнимательно».

После исправления предложите ученику самостоятельно составить один неверный пример и передать его однокласснику на проверку. Желательно, чтобы ошибка была единственной: тогда собеседник сможет точно объяснить, какой шаг нарушен. Такое дополнение развивает математическую речь и не требует дополнительных заданий из сети.