Рабочий лист: доказательство равенства двух углов по схеме — математика, 7 класс

В геометрии недостаточно написать «на рисунке видно»: равенство углов доказывают из данных. На этом рабочем листе схемы заменены точными словесными чертежами. Начертите каждую схему самостоятельно: обозначьте вершину, лучи и данные равенства. Такой способ не зависит от масштаба распечатки и тренирует перевод изображения в доказательство.

Три опоры: вертикальные углы, образованные пересечением двух прямых, равны; биссектриса делит угол на два равных угла; если из равных углов вычесть равные части, оставшиеся углы равны. При работе со смежными углами используется сумма 180°. Вывод должен ссылаться на конкретный факт, а не на внешний вид рисунка.

Схема к заданиям 1–4: на черновике пересеките две прямые. Можно ориентироваться на буквенную схему ниже; размеры углов здесь условны и не задают их величину.

  C      A
       /
      /
      O
    /   
   /     
  B      D

Ученик: для каждой схемы запишите «Дано — Доказать — Доказательство» в двух-трёх строках. Указанные углы изображайте лучами с общей вершиной.

Для печати: сначала выполните задания, затем откройте или распечатайте отдельно раздел «Ответы и объяснения». Для построений используйте линейку и транспортир; все рисунки выполняются на листе.

Разогрев: от одного чертежа к правилу

1. Прямые AB и CD пересекаются в O (A и B — противоположные лучи, C и D — противоположные). Докажите ∠AOC = ∠BOD.
2. По схеме из задания 1 докажите ∠AOD = ∠BOC.
3. В схеме из задания 1 ∠AOC = 52°. Найдите ∠BOD и объясните основание равенства.
4. В той же схеме ∠AOC = 52°. Найдите ∠AOD; объясните, что именно составляет 180°.
5. Луч OM — биссектриса ∠AOB. Докажите ∠AOM = ∠MOB.
6. ∠AOB = 126°, OM — биссектриса. Найдите обе половины; объясните вывод.
7. Луч OK делит ∠AOB на углы 28° и 28°. Докажите, что OK — биссектриса.
8. OA и OB — противоположные лучи. Луч OC создаёт смежные углы ∠AOC и ∠COB. Если они оба равны 90°, обоснуйте их равенство.

Общий алгоритм: назовите основу доказательства

Если на схеме два угла кажутся одинаковыми, задайте четыре вопроса: есть ли пересечение прямых и вертикальные углы; отмечена ли биссектриса; можно ли выразить два угла через один и тот же больший угол; являются ли углы дополнениями до 180° к равным углам? После выбора основания запишите короткую цепочку равенств.

9. Луч OP расположен внутри ∠AOB; дано ∠AOP = 37° и ∠POB = 37°. Докажите равенство частей.
10. Внутри ∠AOB проведены лучи OP и OQ, идущие в порядке A–P–Q–B. Дано ∠AOP = ∠QOB и ∠POQ произвольный. Докажите ∠AOQ = ∠POB.
11. Даны равные углы ∠AOB = ∠COD и внутренние лучи OM, ON: ∠AOM = ∠CON. Докажите ∠MOB = ∠NOD.
12. ∠AOB = ∠COD = 110°, ∠AOM = ∠CON = 43°. Найдите ∠MOB и ∠NOD.
13. Пересекаются прямые AB и CD в O. Известно ∠AOC = 2x + 20°, ∠BOD = 4x − 10°. Найдите x и оба угла.
14. Те же прямые: ∠AOD = 3x + 15°, ∠BOC = 2x + 40°. Найдите x и углы.
15. ∠AOC и ∠COB смежные. ∠AOC = 71°, ∠DOB смежен с ∠COD = 71°. Можно ли доказать ∠COB = ∠DOB, опираясь только на суммы 180°?
16. Смежные углы ∠AOC и ∠COB равны. Докажите, что каждый из них прямой.

Самостоятельный перенос: проверьте логическую цепочку

17. Два разных биссектора делят два угла величиной по 84°. Докажите равенство одной половины первого угла и одной половины второго.
18. На схеме ∠AOP = ∠QOB = 32°, ∠POQ = 45°, лучи идут A–P–Q–B. Найдите ∠AOQ и ∠POB.
19. Прямые AB и CD пересекаются в O; ∠AOC = 68°, ∠AOD = 112°. Какие из пар являются вертикальными: AOC/BOD; AOC/AOD; AOD/BOC?
20. Дано ∠AOB = ∠COD = 97°, ∠MOB = ∠NOD = 26°; M, N внутри соответствующих углов. Докажите ∠AOM = ∠CON.
21. Ученик доказал ∠AOC = ∠BOD словами «они рядом». Дополните схему точным условием, позволяющим заключить равенство.
22. Из того, что ∠AOB и ∠COD равны по 60°, верно ли, что их биссектрисы параллельны? Объясните, что можно доказать, а что нет.

Ключ учителю: аргументы, а не догадки

1. Это вертикальные углы при пересечении прямых AB и CD; потому равны.
2. Это другая пара вертикальных углов, поэтому равны.
3. 52°: ∠AOC и ∠BOD вертикальные.
4. 128°: углы AOC и AOD смежные, 180° − 52° = 128°.
5. По определению биссектрисы она делит угол на два равных угла.
6. 63° и 63°: 126° : 2.
7. Равные части по 28° означают деление угла пополам, значит OK — биссектриса.
8. Оба угла по 90°, равны по числовой величине и составляют 180°.
9. Оба угла даны равными по 37° — равенство непосредственно следует из условия.
10. ∠AOQ = ∠AOP + ∠POQ; ∠POB = ∠POQ + ∠QOB. Слагаемые равны.
11. ∠MOB = ∠AOB − ∠AOM; ∠NOD = ∠COD − ∠CON; разности равных величин равны.
12. 67° и 67°: 110° − 43°.
13. x = 15, оба вертикальных угла по 50°: 2x+20=4x−10.
14. x = 25, оба вертикальных угла по 90°: 3x+15=2x+40.
15. Да: оба равны 180° − 71° = 109°; при этом обе пары должны быть действительно смежными по условию.
16. Из равенства и суммы 180° каждый равен 90°.
17. Половины по 42°: 84° : 2, потому равны независимо от поворота рисунка.
18. Оба угла по 77°: 32° + 45°.
19. Вертикальные пары: AOC/BOD и AOD/BOC. AOC/AOD — смежные, а не вертикальные.
20. Оба по 71°: 97° − 26°, следовательно равны.
21. Нужно указать, что AB и CD — пересекающиеся прямые в O с A/B и C/D противоположными лучами; тогда это вертикальные углы.
22. Нет, равенство величин углов не задаёт направления биссектрис. Можно утверждать только, что каждая делит свой угол на два угла по 30°.

Рекомендация для проверки: сначала убедитесь, что ученик не заменяет предпосылку выводом: нельзя просто объявить неизвестные углы равными. В доказательстве важно назвать свойство и показать соответствующие лучи. На распечатке выделяйте три компонента ответа — исходные сведения, одно доказанное равенство и вывод.

Как отличить доказательство от измерения

На распечатке полезно оставить место для двух колонок: «какой факт дан на схеме» и «почему углы равны». Когда ученик пишет «потому что они выглядят одинаковыми», предложите повернуть лист: внешний вид меняется, а обоснование должно остаться. Важно подчеркнуть, что перенос величины угла на другом рисунке не создаёт автоматически ни параллельности, ни равенства направлений лучей. Смысл доказательства заключается в связях между элементами конкретной схемы.

Для вертикальных углов требуется именно пересечение двух прямых, а не просто четырёх произвольных лучей из одной точки. Для биссектрисы недостаточно того, что луч оказался «примерно посередине»: факт деления пополам должен быть задан или обоснован. Для равенства после вычитания надо убедиться, что удаляемые части находятся внутри соответствующих больших углов и разбиение идёт без наложений. Эти тонкости особенно заметны в задачах 10–12.

Перед заданиями 13–14 попросите школьника самостоятельно составить уравнение из равенства вертикальных углов. Результат x=15 и x=25 нужно подставить обратно в оба выражения: если величины не совпали, вычислительная ошибка обнаружится сразу. В заданиях 17 и 20 используется иной способ проверки — вычисление одного и того же угла двумя путями. При решении необязательно рисовать углы в масштабе, но обязательны корректные обозначения вершин и последовательность лучей.

Задача 15 часто порождает путаницу: смежные углы не обязаны быть равными; одинаковыми здесь оказываются два дополнения до 180° от равных углов по 71°. В задаче 22 важен контрпример: два угла по 60° можно разместить с биссектрисами, направленными под разными наклонами. Следовательно, из равенства величин углов не следует параллельность их биссектрис. Такой ответ ценнее безосновательного вывода из картинки.

Дифференциация: учащимся, которым трудно, выдайте сначала 1–8 и попросите подписывать свойства у каждого шага. Уверенным предложите решить 9–16 без числового измерения, а затем доказать 17–22, назвав достаточные условия. Признак качественного ответа — возможность прочесть доказательство без исходного рисунка и восстановить, что именно использовано.

При самостоятельной работе оцените устный ответ ученика на вопрос «почему этих данных достаточно». Например, чтобы заключить, что углы вертикальные, нужно знать о пересечении двух прямых и противоположности соответствующих лучей. Если лучи нарисованы схематично, но это условие не сказано, доказательство остаётся неполным. Ученик должен научиться восстанавливать отсутствующие предпосылки, а не полагаться на сходство рисунков. Такая привычка поможет при последующих задачах на параллельные прямые и треугольники.