Карточки для 8 класса: умножение выражений с квадратными корнями

Представьте прямоугольник со сторонами √8 см и √18 см. Его площадь равна √8 · √18 = √144 = 12 см². Даже если длины сторон заданы иррациональными числами, площадь может быть целой. Такие модели помогают не заучивать правило механически, а видеть смысл произведения. В этой карточке последовательно разбираются одиночные произведения корней и случаи с коэффициентами и скобками.

Модель площади: что можно умножать

Для a ≥ 0 и b ≥ 0: √a · √b = √(ab). Если числа перед корнями есть, сначала перемножьте коэффициенты: (2√3) · (3√6) = 6√18 = 18√2. Обратите внимание: результат зависит и от произведения подкоренных чисел, и от коэффициента. Два отрицательных коэффициента дают положительное произведение; один отрицательный — отрицательное.

Нельзя переходить от √a + √b к √(a + b): правило произведения не распространяется на сложение. Если выражение содержит скобки, используйте распределительный закон: (√2 + √3)√2 = √2·√2 + √3·√2 = 2 + √6. Проверить его можно, вычисляя площади двух примыкающих прямоугольников, у которых общая высота равна √2.

Карточка «Измерь и вычисли»

Для № 1–4 нарисуй по своему усмотрению прямоугольник и подпиши стороны. Достаточно схематического рисунка: он не должен передавать масштаб. После этого реши оставшиеся примеры с помощью правила и вынеси квадратный множитель, если он есть.

1. √2 · √8 = __________
2. √3 · √12 = __________
3. √5 · √20 = __________
4. √6 · √3 = __________
5. √10 · √15 = __________

Карточка «Коэффициенты и знаки»

6. (2√3) · (3√6) = __________
7. (−2√5) · (√15) = __________
8. (3√2) · (2√18) = __________
9. (√7) · (2√14) = __________
10. (4√3) · (−√12) = __________

Перенос навыка: распределительный закон

В следующих четырёх упражнениях произведение нужно раскрыть на два слагаемых. Сначала не соединяйте корни под один знак: умножается каждый член суммы, а после этого упрощается результат.

11. (√2 + √3) · √2 = __________
12. (√3 + √5) · √5 = __________
13. (√6 + √2) · √3 = __________
14. (√5 + √3) · √12 = __________

Вопрос для самоконтроля: если скобки содержат два слагаемых, сколько произведений должно появиться после раскрытия? Ответ: два. В более сложных заданиях с произведением двух двучленов их было бы четыре, но здесь мы закрепляем только умножение одночлена на сумму.

Ключ: проверяем модели и вычисления

1. √2 · √8 = 1√(2 · 8) = 4; сначала коэффициент 1, затем подкоренное произведение 16.
2. √3 · √12 = 1√(3 · 12) = 6; сначала коэффициент 1, затем подкоренное произведение 36.
3. √5 · √20 = 1√(5 · 20) = 10; сначала коэффициент 1, затем подкоренное произведение 100.
4. √6 · √3 = 1√(6 · 3) = 3·√2; сначала коэффициент 1, затем подкоренное произведение 18.
5. √10 · √15 = 1√(10 · 15) = 5·√6; сначала коэффициент 1, затем подкоренное произведение 150.
6. 2√3 · 3√6 = 6√(3 · 6) = 18·√2; сначала коэффициент 6, затем подкоренное произведение 18.
7. −2√5 · √15 = -2√(5 · 15) = −10·√3; сначала коэффициент -2, затем подкоренное произведение 75.
8. 3√2 · 2√18 = 6√(2 · 18) = 36; сначала коэффициент 6, затем подкоренное произведение 36.
9. √7 · 2√14 = 2√(7 · 14) = 14·√2; сначала коэффициент 2, затем подкоренное произведение 98.
10. 4√3 · −√12 = -4√(3 · 12) = -24; сначала коэффициент -4, затем подкоренное произведение 36.
11. (√2 + √3) · √2 = √4 + √6 = 2 + √6; оба слагаемых умножены на √2.
12. (√3 + √5) · √5 = √15 + √25 = 5 + √15; оба слагаемых умножены на √5.
13. (√6 + √2) · √3 = √18 + √6 = √6 + 3·√2; оба слагаемых умножены на √3.
14. (√5 + √3) · √12 = √60 + √36 = 6 + 2·√15; оба слагаемых умножены на √12.

Учителю: быстрая диагностика

Проверьте три разных навыка: верно ли ученик перемножает коэффициенты, верно ли умножает подкоренные числа, умеет ли упрощать конечный корень. Ошибку легче исправлять на том шаге, где она возникла. Если школьник записал √3 · √12 = √36 = 6, это правильная цепочка. А запись √3 · √12 = √15 неверна, так как смешивает умножение и сложение. Для заданий со скобками проверяйте число полученных слагаемых.

Практическая задача для обсуждения: участок прямоугольной формы имеет стороны √50 м и √8 м. Его площадь равна √400 = 20 м². Удвоение одной стороны удваивает площадь, а не корень под площадью; это ещё один способ связать корни с ранее изученными свойствами умножения. Предложите учащемуся самостоятельно подобрать два подкоренных числа с целочисленным произведением корней.

Почему правило работает и когда оно не работает

Если стороны прямоугольника имеют длины √a и √b, то площадь — произведение этих длин. Поскольку числа неотрицательны, квадрат произведения равен ab; следовательно, произведение и положительный корень √(ab) равны. Так можно объяснить правило, не ссылаясь только на готовую формулу. Но сумму длин нельзя заменить корнем из суммы: для √4 + √9 получаем 2 + 3 = 5, тогда как √(4 + 9) = √13, и это не 5.

В примерах со знаком сначала отделяйте коэффициент от коренной части. Для (−2√5) · √15 коэффициент произведения отрицателен, а √5 · √15 = √75 = 5√3. Значит, ответ равен −10√3. Проверка знака полезна до вычислений: произведение отрицательного числа на положительное отрицательно. Для выражений с двумя отрицательными коэффициентами знак станет положительным.

Учащимся, допустившим ошибку в скобках, предложите нарисовать прямоугольник со стороной √2 + √3 и другой стороной √2. Разделите первую сторону на два отрезка. Тогда площадь большого прямоугольника равна сумме площадей двух маленьких: √2 · √2 и √3 · √2. Это даёт именно 2 + √6. Иллюстрацию можно выполнить прямо в тетради, не печатая дополнительный рисунок.

Проверка по известным квадратам

Сделайте маленькую обратную проверку для √6 · √3: произведение равно √18 = 3√2, а квадрат ответа — 18. Квадрат исходного произведения также равен 6 · 3 = 18. Для отрицательного результата дополнительно убедитесь, что первоначальное произведение действительно отрицательно: сравнение квадратов само по себе не различает противоположные числа. Не пропускайте коэффициенты, если они стоят перед каждым радикалом.