Практикум по математике: сложение подобных радикалов после упрощения — 8 класс

Цель мини-проверочной — уметь распознавать подобные радикалы после их упрощения. Внешне √8 и √18 не одинаковы, но √8 = 2√2, √18 = 3√2. Поэтому √8 + √18 = 5√2. Ученик сначала выносит квадратные множители, затем складывает коэффициенты перед одинаковыми корнями. Этот лист рассчитан на 8 класс и подходит для короткого текущего контроля.

Мини-проверочная: 12 заданий

Имя __________________ Дата ___________. Отведи 15–20 минут на самостоятельную работу. Записывай не только ответ, но и одну промежуточную строку с вынесенными множителями. Не пользуйся калькулятором: он даст приближение, а требуется точный ответ в виде целого коэффициента и корня.

1. √8 + √18 = __________
2. √12 + √27 = __________
3. 2√20 + √45 = __________
4. √50 + √98 = __________
5. 3√8 + 2√32 = __________
6. √75 + √3 = __________
7. 2√28 + 3√63 = __________
8. √48 + 2√75 = __________
9. 3√12 + √27 = __________
10. √147 + √3 = __________
11. 2√45 + √80 = __________
12. √200 + 3√8 = __________

Критерии оценивания

За каждый пункт ставятся два балла: первый за правильное упрощение обоих корней, второй за корректное сложение коэффициентов и окончательную запись. Максимум — 24 балла. Условные ориентиры: 22–24 балла — навык сформирован; 17–21 — отдельные неточности; 12–16 — повторить вынесение множителя; меньше 12 — начать с таблицы квадратов и простых корней. Эти границы являются методическими, а не обязательной школьной шкалой оценок.

Ответы и проверка учителя

1. √8 + √18 = 2·√2 + 3·√2 = 5·√2.
2. √12 + √27 = 2·√3 + 3·√3 = 5·√3.
3. 2√20 + √45 = 4·√5 + 3·√5 = 7·√5.
4. √50 + √98 = 5·√2 + 7·√2 = 12·√2.
5. 3√8 + 2√32 = 6·√2 + 8·√2 = 14·√2.
6. √75 + √3 = 5·√3 + √3 = 6·√3.
7. 2√28 + 3√63 = 4·√7 + 9·√7 = 13·√7.
8. √48 + 2√75 = 4·√3 + 10·√3 = 14·√3.
9. 3√12 + √27 = 6·√3 + 3·√3 = 9·√3.
10. √147 + √3 = 7·√3 + √3 = 8·√3.
11. 2√45 + √80 = 6·√5 + 4·√5 = 10·√5.
12. √200 + 3√8 = 10·√2 + 6·√2 = 16·√2.

Как найти конкретный пробел

Если вместо 2√2 + 3√2 ученик получает √10, он складывает подкоренные числа — это неверно. Если найдено 2√2 + 3√2, но ответ записан как 6√2, ошибка уже не в корнях, а в обычном сложении коэффициентов. Если √50 оставлен без упрощения, нужно повторить поиск наибольшего квадратного делителя. Для любого найденного ответа полезно оценить порядок: √8 + √18 больше 2 + 4 и меньше 3 + 5, а 5√2 приблизительно равно 7, то есть оценка согласуется.

Коррекция: вторая независимая серия

После проверки выбери не меньше трёх заданий из следующих шести. Для каждого объясни вслух: 1) на какое произведение разложено подкоренное число; 2) какой коэффициент вышел из-под корня; 3) почему теперь слагаемые можно объединить. При хорошей работе можно выполнить всю серию как повторный мини-тест.

13. √18 + √32 = __________
14. 2√75 + √12 = __________
15. √72 + 2√50 = __________
16. 2√27 + 3√12 = __________
17. √108 + √75 = __________
18. √243 + 2√48 = __________

Ответы для коррекционной серии

13. √18 + √32 = 3·√2 + 4·√2 = 7·√2.
14. 2√75 + √12 = 10·√3 + 2·√3 = 12·√3.
15. √72 + 2√50 = 6·√2 + 10·√2 = 16·√2.
16. 2√27 + 3√12 = 6·√3 + 6·√3 = 12·√3.
17. √108 + √75 = 6·√3 + 5·√3 = 11·√3.
18. √243 + 2√48 = 9·√3 + 8·√3 = 17·√3.

Важно: не все радикалы подобны. Например, √2 + √3 не превращается в √5 и не сводится к одному слагаемому такого вида. При сложении можно объединять только одинаковые радикальные части; √2 и √3 различны. Учитель может задать этот вопрос устно после второй серии, чтобы проверить, что ребёнок понял не только механический приём.

Проверка результата: раскрой преобразование в обратном направлении, например 5√2 = 2√2 + 3√2 = √8 + √18. Эта запись возвращает исходную сумму и показывает, что оба этапа выполнены правильно. На следующем уроке можно предложить задания с вычитанием подобных радикалов: алгоритм такой же, но коэффициенты надо вычитать, не забывая знак.

Развёрнутый пример для самопроверки

В выражении √50 + √98 нельзя сразу сложить подкоренные числа. Сначала выделяем квадраты: 50 = 25 · 2, а 98 = 49 · 2. Поэтому √50 = 5√2 и √98 = 7√2. Теперь коренные части одинаковые, и складываются только коэффициенты: (5 + 7)√2 = 12√2. Этот же результат можно проверить обратным переходом: 12√2 = 5√2 + 7√2, что соответствует исходным корням.

Посмотрим на выражение 2√20 + √45. Сначала упрощаем оба корня: √20 = 2√5, √45 = 3√5. У первого слагаемого уже есть коэффициент 2, поэтому 2√20 = 2 · 2√5 = 4√5. Получаем 4√5 + 3√5 = 7√5. Типичная ошибка — забыть умножить вынесенную двойку на исходный коэффициент и написать 5√5.

Таблица квадратных множителей как подсказка

Число 8 разлагается на 4 · 2, значит, √8 = 2√2. Число 18 — на 9 · 2, значит, √18 = 3√2. Для чисел 12 и 27 квадратные делители равны 4 и 9, поэтому √12 = 2√3 и √27 = 3√3. Для пары 20 и 45 получаем 2√5 и 3√5. Если ребёнок узнаёт эти три «семейства» корней, многие задания выполняются быстрее, но главный метод остаётся общим: ищем наибольший квадратный делитель.

Алгоритм разбора исправлений

Первый шаг — попросить ученика прочитать вслух два слагаемых, не торопясь выполнять действия. Второй — разложить подкоренные числа на квадраты и остаток. Третий — вынести множители, сохраняя коэффициенты, которые уже были снаружи. Четвёртый — убедиться, что под обоими знаками корня осталось одно и то же число. Пятый — сложить коэффициенты и записать итог без лишних действий. Если на четвёртом шаге коренные части различны, автоматически объединять их нельзя.

При ошибке в коэффициентах дайте один короткий пример без корней: 2x + 3x = 5x. Затем замените x выражением √7; получим 2√7 + 3√7 = 5√7. Это позволяет увидеть, что радикал здесь выступает общей буквенной частью. При ошибке в упрощении вернитесь к √18 = √(9 · 2) = 3√2. Повторная попытка должна проверять исправленный навык, а не память на предыдущий номер.

При хорошей работе можно усложнить задание: 2√18 + 3√8 + √50 = 6√2 + 6√2 + 5√2 = 17√2. Пример объединяет три слагаемых вместо двух, но алгоритм остаётся таким же. Если в классе ещё не проходили преобразования радикалов с несколькими коэффициентами, это задание стоит оставить только для дополнительного обсуждения, не включая в обязательную оценку.

Для печати ключ и коррекционную серию можно оставить на втором листе. Во время проверки оценка по двум критериям показывает причину неточности лучше, чем единственный общий балл: ученик может правильно вынести множители, но один раз неверно сложить коэффициенты. В таком случае повторять весь раздел о квадратных корнях не требуется — достаточно нескольких аналогичных упражнений на объединение подобных слагаемых.

Как не перепутать похожие и разные корни

Радикалы «подобны» не потому, что оба содержат знак √, а потому, что после упрощения у них совпадает подкоренная часть. Сравните √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3 и √12 + √20 = 2√3 + 2√5. Во втором случае объединять слагаемые нельзя: под корнями остались 3 и 5. В тесте подобраны задания первого типа, чтобы оценить именно сложение после преобразования; второй тип полезно разобрать устно как границу правила.

Если коэффициенты перед корнями разные, начинайте с каждого слагаемого отдельно. Для 3√8 + 2√32 получаем 3 · 2√2 + 2 · 4√2 = 6√2 + 8√2 = 14√2. Ученик иногда замечает только 2√2 + 4√2 и теряет первоначальные множители 3 и 2. Исправление простое: до начала работы обведите их кружком и переносите в каждую промежуточную строку.

Самопроверка может включать оценку: √50 близок к 7, а √98 близок к 10, следовательно, сумма около 17; 12√2 действительно немного меньше 17. Это вспомогательный приём, а не способ получить точный ответ. Приближения не заменяют алгебраического преобразования, зато помогают заметить ответ, который отличается в несколько раз из-за неверного коэффициента.