Проверочная работа: вычитание радикалов после вынесения множителя — 8 класс

Исследовательская проверочная • 8 класс • 16 заданий • 20–25 минут

Вычитать выражения с квадратными корнями разрешается только после того, как подкоренные выражения приведены к одинаковому виду. Например, √72 − √32 = 6√2 − 4√2 = 2√2. Здесь мы не вычитаем числа 72 и 32: сначала выделяем из них полные квадраты 36 и 16, а затем выносим множители. Именно это действие проверяют карточки.

Числовая лаборатория: откуда появляется одинаковый корень

Посмотрите на цепочку: √50 = √(25 · 2) = 5√2; √8 = √(4 · 2) = 2√2. После упрощения выражение √50 − √8 становится разностью подобных слагаемых: (5 − 2)√2. При другом подкоренном числе слагаемые складывать и вычитать нельзя: например, √2 − √3 не превращается в √(2 − 3).

Для самопроверки выделяйте три строки: исходное выражение, промежуточный вид с одинаковыми корнями и окончательный ответ. Сравните два пути: вынести множитель у каждого слагаемого отдельно или сначала заметить общую подкоренную основу. В обоих случаях результат обязан совпасть.

Задания ученику: последовательные наблюдения

В упражнениях 1–4 сначала самостоятельно выделите полный квадрат из каждого корня; в упражнениях 5–8 впишите коэффициенты при одинаковом корне. Не открывайте ключ, пока не выполнены обе серии.

Серия А — вынеси множитель

1. √72 − √32 = __________
2. √75 − √27 = __________
3. 3√12 − √48 = __________
4. 2√45 − √80 = __________

Серия Б — заполни разность коэффициентов

5. √98 − √8 = (____ − ____)√__ = __________
6. √147 − √12 = (____ − ____)√__ = __________
7. √125 − √20 = (____ − ____)√__ = __________
8. 2√63 − √28 = (____ − ____)√__ = __________

Серия В — найди закономерность

В номерах 9–12 попробуйте объяснить, почему два внешне непохожих радикала после упрощения становятся подобными. Подчеркните полный квадрат внутри каждого подкоренного выражения. Дополнительно оцените знак результата до вычисления: первое слагаемое здесь больше второго.

9. √108 − √75 = __________
10. 3√50 − 2√18 = __________
11. 2√175 − 3√28 = __________
12. √288 − √128 = __________

Итоговая мини-проверочная

Задания 13–16 специально проверяют, не потерян ли знак «минус». Ответ может быть отрицательным или равным нулю. Запишите как результат, так и одну промежуточную строку.

13. √20 − √45 = __________
14. 2√12 − 3√27 = __________
15. √200 − 2√72 = __________
16. 3√48 − 4√27 = __________

Ключ и развёрнутая самопроверка

Сначала сравните с ключом именно промежуточное преобразование. Если подкоренные числа всё ещё различаются, ошибка допущена до вычитания; если корни совпадают, но ответ неверен, проверьте разность коэффициентов.

1. √72 − √32: 2√2; после вынесения множителей — 6√2 − 4√2.
2. √75 − √27: 2√3; после вынесения множителей — 5√3 − 3√3.
3. 3√12 − √48: 2√3; после вынесения множителей — 6√3 − 4√3.
4. 2√45 − √80: 2√5; после вынесения множителей — 6√5 − 4√5.
5. √98 − √8: 5√2; после вынесения множителей — 7√2 − 2√2.
6. √147 − √12: 5√3; после вынесения множителей — 7√3 − 2√3.
7. √125 − √20: 3√5; после вынесения множителей — 5√5 − 2√5.
8. 2√63 − √28: 4√7; после вынесения множителей — 6√7 − 2√7.
9. √108 − √75: √3; после вынесения множителей — 6√3 − 5√3.
10. 3√50 − 2√18: 9√2; после вынесения множителей — 15√2 − 6√2.
11. 2√175 − 3√28: 4√7; после вынесения множителей — 10√7 − 6√7.
12. √288 − √128: 4√2; после вынесения множителей — 12√2 − 8√2.
13. √20 − √45: −√5; после вынесения множителей — 2√5 − 3√5.
14. 2√12 − 3√27: −5√3; после вынесения множителей — 4√3 − 9√3.
15. √200 − 2√72: −2√2; после вынесения множителей — 10√2 − 12√2.
16. 3√48 − 4√27: 0; после вынесения множителей — 12√3 − 12√3.

Вывод по результатам

15–16 верных ответов показывают уверенное владение приёмом. При 11–14 верных вернитесь к тем примерам, где корень сначала нужно сильно упростить, и повторите их через день. Если верных ответов меньше 11, начните с таблицы полных квадратов 4, 9, 16, 25, 36, 49 и решите первые четыре примера заново.

Полезная проверка без десятичных приближений: восстановите каждое промежуточное равенство, возводя неотрицательные корни в квадрат. Например, (6√2)² = 72, поэтому замена √72 на 6√2 правильна. Это не заменяет проверку вычитания, но быстро выявляет ошибки при вынесении множителя.

Для учителя: работа рассчитана на одну сторону листа с продолжением ключа после заданий. При печати для ученика оставьте только разделы «Задания ученику», «Серия В» и «Итоговая мини-проверочная», а ключ раздайте после сбора решений. Для программ, где преобразование радикалов вводят позднее, используйте материал как дополнительный практикум.

Как самостоятельно обнаружить неверный коэффициент

Сравните две записи: √98 = √(49 · 2) = 7√2 и √98 = 49√2. Во второй ученик не извлёк квадратный корень из полного квадрата. Найти ошибку можно обратным действием: (7√2)² = 98, тогда как (49√2)² = 4802. Прежде чем вычитать радикалы, убедитесь, что коэффициент действительно получен извлечением квадратного корня.

Рассмотрим √108 − √75. Нужно заметить, что 108 = 36 · 3, а 75 = 25 · 3. Получим 6√3 − 5√3 = √3. Распространённая неверная запись √(108 − 75) = √33 не согласуется с исходным выражением. Корень от разности в общем случае не равен разности корней, поэтому правило вынесения множителя нельзя заменять действием над подкоренными числами.

Если оба слагаемых отрицательны по величине после вычитания, ответ с минусом вполне допустим. Так, √20 − √45 = 2√5 − 3√5 = −√5. Не нужно заменять отрицательный результат положительным «потому что квадратный корень неотрицателен»: сами корни действительно неотрицательны, однако их разность может быть меньше нуля.

Метод контроля без подсказок

Разберите ответы в порядке «выделил квадрат — вынес множитель — вычел коэффициенты». Если вы сомневаетесь в примере с двумя большими радикалами, перепишите каждый как произведение целого числа на квадратный корень меньшего числа. Для √288 удобно выбрать 144 · 2, а для √128 — 64 · 2; результат сразу сводится к разности коэффициентов 12 − 8.

Последнее задание намеренно даёт ноль. Это полезная проверка понимания подобия радикалов: 3√48 = 12√3, а 4√27 = 12√3. Их разность точно равна нулю. Если получен ненулевой ответ, сначала перепроверьте коэффициенты при корнях, а уже потом знак операции.

Пять критериев качественного решения

Первый критерий — под каждым корнем указан правильный полный квадрат. Второй — числовой множитель вынесен без изменения значения. Третий — одинаковые радикальные части действительно совпадают. Четвёртый — учтён знак вычитания даже при большем втором слагаемом. Пятый — ответ упрощён до одного радикального слагаемого либо до нуля.

Упражнение с нулевым ответом полезно проверять особенно тщательно: два исходных корня могут выглядеть различно, однако после вынесения множителей давать одинаковые слагаемые. Сильному ученику можно предложить придумать собственную пару разных подкоренных чисел, вычитание которой после упрощения равно нулю, и доказать результат без калькулятора.