Избавление от иррациональности через сопряжённое выражение для 8 класса — упражнения с решениями

Приём сопряжения • 8 класс • 20 заданий • точные равенства без десятичных дробей

В отличие от знаменателя √5, выражение √5 + 2 нельзя сделать рациональным простым домножением на √5. Здесь помогает пара выражений, которые отличаются знаком между двумя слагаемыми: √5 + 2 и √5 − 2. Их произведение равно (√5)² − 2² = 5 − 4 = 1. Такой второй множитель называется сопряжённым.

Почему это работает: короткое доказательство

Тождество (a + b)(a − b) = a² − b² действует для любых действительных a и b. Если знаменатель равен √7 − 2, домножьте дробь на (√7 + 2)/(√7 + 2). Тогда знаменатель равен 7 − 4 = 3. Например, 1/(√7 − 2) = (√7 + 2)/3. Важная деталь: нужно сохранить скобки вокруг всего двучлена, иначе можно нечаянно умножить только его часть.

Сопряжённое выражение не есть «вычеркнуть корень». Оно определяется заменой плюса на минус или минуса на плюс между двумя слагаемыми. Перед вычислением проверьте, что исходный знаменатель не равен нулю. В этой подборке все знаменатели отличны от нуля, а радикалы определены.

В некоторых программах России и Казахстана умножение на сопряжённое выражение рассматривают как расширение курса квадратных корней. Если такой приём ещё не проходили, материал можно использовать для факультативной работы после формул сокращённого умножения.

Упражнения: сначала найди пару, затем рационализируй

Серия 1 (1–8). Напишите сопряжённое выражение к знаменателю и преобразуйте дробь. В качестве ответа оставляйте точный вид, не заменяя √5 приблизительным числом.

1. 1/(√5 + 2) = __________
2. 1/(√7 − 2) = __________
3. 2/(3 + √5) = __________
4. 3/(√11 − √2) = __________
5. 4/(2√3 + 1) = __________
6. 1/(√13 − 3) = __________
7. 3/(√6 + √2) = __________
8. 5/(4 − √7) = __________

Задания с пропусками

Серия 2 (9–14). После дроби впишите в пустое место множитель, на который следует умножить и числитель, и знаменатель, а затем получите итоговый результат. Обратите внимание: при двух квадратных корнях в знаменателе разность квадратов может быть как большим, так и небольшим целым числом.

9. 2/(√10 − √3) · (__________)/(__________) = __________
10. 7/(√5 + √2) · (__________)/(__________) = __________
11. 1/(√3 + 1) · (__________)/(__________) = __________
12. 2/(2√2 − 1) · (__________)/(__________) = __________
13. 3/(2√3 + 2) · (__________)/(__________) = __________
14. 4/(√17 − 1) · (__________)/(__________) = __________

Самостоятельная работа на перенос приёма

Серия 3 (15–20). В этих примерах встречаются множители перед корнями и разные знаки. Прежде чем раскрывать скобки, отдельно вычислите квадрат первого слагаемого и квадрат второго. После рационализации проверьте полученную дробь умножением на исходный знаменатель.

15. 5/(2√5 − 3) = __________
16. 2/(√15 + √6) = __________
17. 3/(5 + √6) = __________
18. 1/(√7 + √5) = __________
19. 6/(3√2 − 2) = __________
20. 7/(√19 − √3) = __________

Ключ с проверкой каждого знаменателя

Разбор ниже показывает сопряжённый множитель и рациональный знаменатель. Если ваша запись выглядит иначе, попробуйте раскрыть скобки и привести подобные слагаемые: две алгебраически равные формы ответа допустимы.

1. 1/(√5 + 2): −2 + √5; умножить числитель и знаменатель на (√5 − 2); знаменатель становится 1.
2. 1/(√7 − 2): 2/3 + (1/3)√7; умножить числитель и знаменатель на (√7 + 2); знаменатель становится 3.
3. 2/(3 + √5): 3/2 − (1/2)√5; умножить числитель и знаменатель на (3 − √5); знаменатель становится 4.
4. 3/(√11 − √2): (1/3)√11 + (1/3)√2; умножить числитель и знаменатель на (√11 + √2); знаменатель становится 9.
5. 4/(2√3 + 1): −4/11 + (8/11)√3; умножить числитель и знаменатель на (2√3 − 1); знаменатель становится 11.
6. 1/(√13 − 3): 3/4 + (1/4)√13; умножить числитель и знаменатель на (√13 + 3); знаменатель становится 4.
7. 3/(√6 + √2): −(3/4)√2 + (3/4)√6; умножить числитель и знаменатель на (√6 − √2); знаменатель становится 4.
8. 5/(4 − √7): 20/9 + (5/9)√7; умножить числитель и знаменатель на (4 + √7); знаменатель становится 9.
9. 2/(√10 − √3): (2/7)√10 + (2/7)√3; умножить числитель и знаменатель на (√10 + √3); знаменатель становится 7.
10. 7/(√5 + √2): −(7/3)√2 + (7/3)√5; умножить числитель и знаменатель на (√5 − √2); знаменатель становится 3.
11. 1/(√3 + 1): −1/2 + (1/2)√3; умножить числитель и знаменатель на (√3 − 1); знаменатель становится 2.
12. 2/(2√2 − 1): 2/7 + (4/7)√2; умножить числитель и знаменатель на (2√2 + 1); знаменатель становится 7.
13. 3/(2√3 + 2): −3/4 + (3/4)√3; умножить числитель и знаменатель на (2√3 − 2); знаменатель становится 8.
14. 4/(√17 − 1): 1/4 + (1/4)√17; умножить числитель и знаменатель на (√17 + 1); знаменатель становится 16.
15. 5/(2√5 − 3): 15/11 + (10/11)√5; умножить числитель и знаменатель на (2√5 + 3); знаменатель становится 11.
16. 2/(√15 + √6): −(2/9)√6 + (2/9)√15; умножить числитель и знаменатель на (√15 − √6); знаменатель становится 9.
17. 3/(5 + √6): 15/19 − (3/19)√6; умножить числитель и знаменатель на (5 − √6); знаменатель становится 19.
18. 1/(√7 + √5): −(1/2)√5 + (1/2)√7; умножить числитель и знаменатель на (√7 − √5); знаменатель становится 2.
19. 6/(3√2 − 2): 6/7 + (9/7)√2; умножить числитель и знаменатель на (3√2 + 2); знаменатель становится 14.
20. 7/(√19 − √3): (7/16)√19 + (7/16)√3; умножить числитель и знаменатель на (√19 + √3); знаменатель становится 16.

Самоконтроль: три характерные ошибки

Ошибка № 1: при преобразовании 1/(√5 + 2) ученик умножил дробь только на √5 − 2, то есть изменил исходное значение. Правильно умножать на дробь (√5 − 2)/(√5 − 2), которая равна единице. Ошибка № 2: вычислил (√7 − 2)(√7 + 2) как 7 + 4; верна именно разность квадратов 7 − 4. Ошибка № 3: сократил слагаемые между числителем и знаменателем. Сокращают только общие множители, но не части суммы.

Для проверки обратным действием домножьте новый ответ на исходный двучленный знаменатель. В примере 1 результат (√5 − 2) при умножении на (√5 + 2) даёт 1. В примере 2 ответ (√7 + 2)/3 при умножении на (√7 − 2) также даёт 1. Это точная алгебраическая проверка, независимая от калькулятора.

Учителю удобно оценить каждую задачу двумя отметками: один балл за правильно выбранное сопряжённое выражение и один балл за верное преобразование дроби. При 34–40 баллах навык устойчив; при 26–33 стоит повторить разность квадратов; при меньшем результате вернитесь к четырём образцам в начале листа и решите первые шесть примеров с промежуточной строкой.

Не включайте такие упражнения в обязательную проверочную работу, если по вашей учебной программе в 8 классе ещё не изучено произведение сопряжённых выражений. Полезнее сначала объяснить связь с формулой разности квадратов и провести общую проверку на двух примерах.

Уточнение: что именно считается сопряжённой парой

У двучлена √5 + 2 сопряжённое выражение равно √5 − 2, а у двучлена 2√5 − 3 — выражение 2√5 + 3. Коэффициент 2 перед радикалом остаётся на месте. Меняется знак между слагаемыми; нельзя превращать 2√5 − 3 в 2√5 + 9 или в √5 + 3. Такая подмена разрушает тождество разности квадратов.

Когда в знаменателе два разных корня, ситуация такая же. Для √11 − √2 используйте √11 + √2; знаменатель после умножения превращается в 11 − 2 = 9. Важно не вычислять √11 и √2 приближённо: точные квадраты уже дают целое число. Оставшийся числитель 3(√11 + √2) затем можно сократить на 3.

Если первым слагаемым стоит обычное число, например 3 + √5, сопряжённым будет 3 − √5. Произведение равно 9 − 5 = 4. Метод не требует переставлять слагаемые ради того, чтобы корень оказался первым. Ученику полезно один раз проверить оба варианта раскрытием скобок и увидеть, что смешанные произведения взаимно уничтожаются.

Три самостоятельные математические проверки

Для 1/(√13 − 3) правильное сопряжённое выражение √13 + 3, а знаменатель после рационализации равен 13 − 9 = 4. Проверьте ответ (√13 + 3)/4: умножьте его на √13 − 3. В числителе получится 13 − 9 = 4, а деление на 4 вернёт исходную единицу.

Рассмотрим 3/(√6 + √2). Выражение √6 − √2 в знаменателе даёт 6 − 2 = 4, поэтому ответ равен 3(√6 − √2)/4. Для проверки умножьте его на √6 + √2: произведение скобок снова равно 4, следовательно, результат равен 3. Такой способ работает независимо от того, как ученики распределили множитель 3 в числителе.

Когда знаменатель выглядит как 4 − √7, сопряжённое к нему выражение 4 + √7. После домножения получим 16 − 7 = 9. Делить коэффициенты 4 и 7 или оставлять минус перед 7 при возведении √7 в квадрат нельзя: в формуле разности квадратов вычитается квадрат второго слагаемого, а он положителен.

При сомнении вернитесь к строгой проверке: исходный знаменатель умножается на предложенный окончательный ответ. Это произведение должно равняться исходному числителю. Если оно не совпадает, ошибка либо в сопряжённом множителе, либо в вычитании квадратов, либо в заключительном сокращении числовых коэффициентов.