Учимся решать: квадрат суммы с квадратными корнями — задания для 8 класса

Маршрут по формуле квадрата суммы • 8 класс • 14 заданий

Формула (a + b)² = a² + 2ab + b² не зависит от того, целые числа стоят вместо a и b или квадратные корни. Например, (2 + √3)² = 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3. Главная ловушка — потерять среднее слагаемое 2ab. Работа построена как маршрут: после двух примеров ученик решает задания, останавливается на контрольных точках и проходит итоговый тест.

Старт: два разбора для ориентира

Образец 1. (1 + √5)² = 1² + 2 · 1 · √5 + (√5)² = 6 + 2√5. Чтобы проверить ответ, раскройте скобки умножением (1 + √5)(1 + √5) и приведите подобные слагаемые.

Образец 2. (√2 + √3)² = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6. Произведение √2 · √3 = √6, потому что оба подкоренных числа положительны. Слагаемое 2√6 нельзя объединить с числом 5, так как это разные типы слагаемых.

Схема для каждого задания: выпишите три члена a², 2ab, b²; вычислите их независимо; затем сложите. Если в ответе осталось √20, его можно упростить до 2√5. Проверку желательно делать не по приблизительным значениям корней, а по обычным тождествам.

Контрольная точка № 1: простые суммы

Решите задания 1–4. После каждого поставьте три короткие отметки: «первый квадрат», «удвоенное произведение», «второй квадрат». Затем переходите дальше.

1. (2 + √3)² = __________
2. (1 + √5)² = __________
3. (3 + 2√2)² = __________
4. (√2 + √5)² = __________

Контрольная точка № 2: коэффициент перед корнем

В заданиях 5–9 среднее слагаемое часто приходится вычислять как произведение двух коэффициентов и корня. Сохраняйте скобки, чтобы не потерять множитель. В № 9 сначала проверьте, не удастся ли упростить √20.

5. (2√3 + 1)² = __________
6. (4 + √7)² = __________
7. (√3 + 2√2)² = __________
8. (5 + 2√6)² = __________
9. (√5 + 2√5)² = __________

Финальный тест: пять выражений

Задания 10–14 выполните самостоятельно. Дополнительное условие: приведите ответ к виду суммы рациональной части и радикального слагаемого; если радикальные слагаемые подобны, объедините их.

10. (3√2 + 2√3)² = __________
11. (2 + √11)² = __________
12. (√6 + √10)² = __________
13. (1 + 3√7)² = __________
14. (2√5 + 3√2)² = __________

Ключ и контроль формулы

1. (2 + √3)² = 7 + 4√3; три части: 4 + 4√3 + 3.
2. (1 + √5)² = 6 + 2√5; три части: 1 + 2√5 + 5.
3. (3 + 2√2)² = 17 + 12√2; три части: 9 + 12√2 + 8.
4. (√2 + √5)² = 7 + 2√10; три части: 2 + 2√10 + 5.
5. (2√3 + 1)² = 13 + 4√3; три части: 12 + 4√3 + 1.
6. (4 + √7)² = 23 + 8√7; три части: 16 + 8√7 + 7.
7. (√3 + 2√2)² = 11 + 4√6; три части: 3 + 4√6 + 8.
8. (5 + 2√6)² = 49 + 20√6; три части: 25 + 20√6 + 24.
9. (√5 + 2√5)² = 45; три части: 5 + 20 + 20.
10. (3√2 + 2√3)² = 30 + 12√6; три части: 18 + 12√6 + 12.
11. (2 + √11)² = 15 + 4√11; три части: 4 + 4√11 + 11.
12. (√6 + √10)² = 16 + 4√15; три части: 6 + 4√15 + 10.
13. (1 + 3√7)² = 64 + 6√7; три части: 1 + 6√7 + 63.
14. (2√5 + 3√2)² = 38 + 12√10; три части: 20 + 12√10 + 18.

Что делать при ошибках

Если пропущено удвоенное произведение, ещё раз вычислите (1 + √2)(1 + √2): два одинаковых смешанных произведения дают именно 2√2. Если перед квадратным корнем пропал коэффициент, перепроверьте выражения вроде (3 + 2√2)²: второй член должен быть 2 · 3 · 2√2, а не 6√2. Если подкоренное число осталось составным, разложите его на полный квадрат и множитель.

За каждый верный ответ начислите один балл. При 12–14 баллах можно переходить к квадрату разности; при 9–11 повторите контрольную точку № 2, при результате ниже 9 заново разберите образцы. По программам РФ и Казахстана последовательность изучения формул и радикалов может отличаться: проводите маршрут после обеих тем.

Учитель может распечатать первые три учебных раздела как бланк, а ключ раздать отдельно после финального теста. Для домашней самопроверки важно не просто увидеть ответ, а назвать, какой из трёх членов формулы был вычислен неправильно.

Сравним три способа записи одного результата

Для (2 + √3)² можно сначала написать 2² + 2 · 2√3 + (√3)², а можно перемножить две одинаковые скобки (2 + √3)(2 + √3). Первый способ быстрее при знакомой формуле, второй полезен как независимая проверка. Оба дают 7 + 4√3. Если получено 7 + 2√3, значит, в среднем слагаемом потерялся множитель 2.

Для (√2 + √5)² квадраты крайних слагаемых дают 2 и 5, а средний член содержит произведение разных радикалов: 2√10. Итак, ответ 7 + 2√10. Нельзя считать, что √2 + √5 равно √7: свойство корня из произведения не распространяется на сумму.

Выражение (√5 + √20)² удобно упростить до применения формулы: √20 = 2√5, поэтому (√5 + 2√5)² = (3√5)² = 45. Если сначала раскрыть скобки, получится 5 + 2√100 + 20 = 5 + 20 + 20 = 45. Это редкий в подборке пример, когда два разных на вид корня сводятся к одному виду и итоговый ответ оказывается целым числом.

В (3√2 + 2√3)² крайние квадраты равны 18 и 12, а удвоенное произведение равно 12√6. Ответ 30 + 12√6. Важно не заменять √6 произведением целых чисел и не пытаться сложить радикальную часть с 30. Проверка раскрытием скобок даёт две одинаковые смешанные части по 6√6.

План коррекции после финального теста

Разделите ошибки на три группы. Если неверно вычислено a² или b², повторите квадраты чисел и равенство (√n)² = n. Если отсутствует удвоенное произведение, перемножьте одинаковые скобки по распределительному свойству. Если получен нескорректированный корень вроде √20, потренируйте выделение полного квадрата в подкоренном числе.

На следующем занятии достаточно четырёх упражнений: два из первого блока, одно с двумя радикалами и одно со сложным коэффициентом. Попросите ученика вслух назвать три части формулы до вычисления. Это даёт возможность оценить именно способ решения, а не удачное попадание в ответ по образцу.