Система неравенств без общего решения — карточки по математике для 8 класса

Три варианта для самостоятельной работы по теме «система без общего решения». В каждом ровно шесть систем: четыре имеют пустое пересечение, две оставлены как контрольные контрпримеры. Поэтому нельзя автоматически написать «решений нет» у каждой задачи — нужно доказать вывод по двум лучам и учесть, включена ли общая граница.

Как доказать отсутствие решений

Если из первого неравенства следует x > 5, а из второго x < 2, одно число не может быть больше 5 и меньше 2 одновременно. Ответ — ∅. Но система x ≥ 4 и x ≤ 4 имеет одну общую точку 4. Система x > 4 и x ≤ 4, наоборот, пустая. Вывод зависит не от близости чисел, а от того, разрешена ли их общая граница.

Вариант А — 6 независимых систем

Сначала решите каждое неравенство отдельно. Закрасьте или оставьте пустыми граничные точки и установите, есть ли хотя бы одно число, удовлетворяющее обоим условиям.

1. { x > 5; x < 2 }. Есть ли общее решение? Обоснуй: __________________________.
2. { x ≥ 3; x < 3 }. Есть ли общее решение? Обоснуй: __________________________.
3. { x > -2; x < 1 }. Есть ли общее решение? Обоснуй: __________________________.
4. { 2x ≤ -4; x > 0 }. Есть ли общее решение? Обоснуй: __________________________.
5. { x ≥ 0; x ≤ 0 }. Есть ли общее решение? Обоснуй: __________________________.
6. { -2x < -8; x ≤ 2 }. Есть ли общее решение? Обоснуй: __________________________.

Вариант Б — 6 независимых систем

Для каждого случая сформулируйте одно предложение: «общего решения нет, потому что…» либо «общее решение существует, например x = …». Важно отличить проверку отдельного числа от полного решения системы.

1. { x < -1; x ≥ 1 }. Есть ли общее решение? Обоснуй: __________________________.
2. { x > 4; x ≤ 4 }. Есть ли общее решение? Обоснуй: __________________________.
3. { x < 9; x > -2 }. Есть ли общее решение? Обоснуй: __________________________.
4. { -3x ≥ 6; x > 3 }. Есть ли общее решение? Обоснуй: __________________________.
5. { x ≥ -5; x ≤ -5 }. Есть ли общее решение? Обоснуй: __________________________.
6. { 2x < 6; x ≥ 5 }. Есть ли общее решение? Обоснуй: __________________________.

Вариант В — 6 независимых систем

Записывайте итог с обозначением ∅ или с интервалом. Строгий знак требует пустого кружка. Не сравнивайте только правые части: сперва перенесите слагаемые.

1. { x ≥ 7; x ≤ 5 }. Есть ли общее решение? Обоснуй: __________________________.
2. { 2x + 1 > 9; x < 1 }. Есть ли общее решение? Обоснуй: __________________________.
3. { x ≤ 0; x > 0 }. Есть ли общее решение? Обоснуй: __________________________.
4. { x ≥ -4; x < -1 }. Есть ли общее решение? Обоснуй: __________________________.
5. { -2x + 2 < -4; x ≤ 2 }. Есть ли общее решение? Обоснуй: __________________________.
6. { x ≥ 2; x ≤ 2 }. Есть ли общее решение? Обоснуй: __________________________.

Проверочные вопросы перед ответами

Подчеркните слово «одновременно». Оно означает, что одного успешного неравенства недостаточно. Когда ученик говорит «есть решение x = 6», попросите проверить это число не только в первой, но и во второй строке. Если оно не подходит во вторую, найдено решение отдельного условия, но не системы. Нельзя доказывать пустоту только неудачной подстановкой нескольких целых чисел: например, промежуток (0; 1) содержит нецелые числа, хотя целых там нет.

Алгоритм доказательства пустого пересечения: решите каждое исходное неравенство; найдите нижнюю и верхнюю границы общей части; сравните границы. При нижней границе больше верхней система несовместна. Если они равны, проверьте, разрешена ли эта точка обоими знаками. Так различаются случаи x ≥ 2 и x < 2, где ответ ∅, и x ≥ 2 и x ≤ 2, где x = 2. Это существенно важнее запоминания изображения пустого промежутка.

При работе с тремя вариантами удобно сначала обменяться только обоснованиями, не раскрывая ключ. Попросите каждого ученика найти систему, которая не пустая, хотя внешне напоминает остальные. Затем предложите переделать одну пустую систему в непустую изменением всего одного знака. Задание показывает влияние строгости на конечный ответ и одновременно тренирует язык доказательства.

Как самостоятельно составить систему с пустым ответом

Возьмите две простые границы, например x < −3 и x ≥ 1. Первое множество целиком расположено левее −3, второе начинается с единицы: общих точек нет. Превратите эти простые условия в равносильные с коэффициентами: 2x < −6 и x − 1 ≥ 0. Полученная система по-прежнему не имеет решений. Аналогичный приём позволяет ученику придумать собственное задание и решить его без догадки.

Теперь измените только знак второго неравенства на x − 1 ≤ 0. Система x < −3 и x ≤ 1 уже имеет решения: любое число меньше −3. Это пример того, как небольшая перемена в формулировке полностью меняет смысл результата. При самостоятельной проверке предложите однокласснику найти число, подтверждающее непустоту, и записать весь ответ промежутком.

Полный ключ: результаты по вариантам

Вариант А

1. x > 5; x < 2. Пересечение: ∅. Общих точек нет.
2. x ≥ 3; x < 3. Пересечение: ∅. Общих точек нет.
3. x > -2; x < 1. Пересечение: (-2; 1). Учитывайте принадлежность граничных точек.
4. x ≤ -2; x > 0. Пересечение: ∅. Общих точек нет.
5. x ≥ 0; x ≤ 0. Пересечение: [0; 0]. Учитывайте принадлежность граничных точек.
6. x > 4; x ≤ 2. Пересечение: ∅. Общих точек нет.

Вариант Б

1. x < -1; x ≥ 1. Пересечение: ∅. Общих точек нет.
2. x > 4; x ≤ 4. Пересечение: ∅. Общих точек нет.
3. x < 9; x > -2. Пересечение: (-2; 9). Учитывайте принадлежность граничных точек.
4. x ≤ -2; x > 3. Пересечение: ∅. Общих точек нет.
5. x ≥ -5; x ≤ -5. Пересечение: [-5; -5]. Учитывайте принадлежность граничных точек.
6. x < 3; x ≥ 5. Пересечение: ∅. Общих точек нет.

Вариант В

1. x ≥ 7; x ≤ 5. Пересечение: ∅. Общих точек нет.
2. x > 4; x < 1. Пересечение: ∅. Общих точек нет.
3. x ≤ 0; x > 0. Пересечение: ∅. Общих точек нет.
4. x ≥ -4; x < -1. Пересечение: [-4; -1). Учитывайте принадлежность граничных точек.
5. x > 3; x ≤ 2. Пересечение: ∅. Общих точек нет.
6. x ≥ 2; x ≤ 2. Пересечение: [2; 2]. Учитывайте принадлежность граничных точек.

Как проверить вывод ∅: запишите обе итоговые границы на одной числовой прямой. Если правая точка левого луча находится левее начала правого луча и между ними нет общих точек — пересечение пусто. При совпадающих границах отдельно подставьте это граничное число в каждое исходное неравенство.

Оценивание: 1 балл за решение каждого отдельного неравенства, 1 балл за верное пересечение, 1 балл за аргумент о граничной точке. На каждый вариант максимум 24 балла. Если ученик пропустил контрольный контрпример, вернитесь к рисункам «x > 0; x ≤ 0» и «x ≥ 0; x ≤ 0»: визуально различие минимально, но математический ответ иной.