Диагностика навыка: сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника — 8 класс

Диагностика: от треугольника к четырёхугольнику

Проведите диагональ внутри выпуклого четырёхугольника. Получатся два треугольника. У каждого сумма внутренних углов равна 180°, поэтому у четырёхугольника сумма составляет 360°. Это справедливо для любого выпуклого четырёхугольника, а не только для прямоугольника или параллелограмма. Каждому внутреннему углу невырожденного выпуклого четырёхугольника соответствует величина больше 0° и меньше 180°.

Перед решением проведите небольшой рисунок от руки и подпишите углы A, B, C, D. Если в учебной задаче известны три угла, четвёртый находится разностью: ∠D = 360° − (∠A + ∠B + ∠C). Для задачи с неизвестным x сначала составьте уравнение, а затем проверьте четыре найденные величины.

Стартовая карточка: найдите недостающий угол

Задания 1–12. Указаны три внутренних угла выпуклого четырёхугольника ABCD: A, B, C. Найдите D. Не забывайте писать градусы в ответе.

Карточка повышенного уровня: одно уравнение на четыре угла

Задания 13–20. Все описанные случаи предполагают выпуклый четырёхугольник. Пусть x — величина в градусах. Запишите сумму четырёх выражений, приравняйте к 360, найдите x и все углы. Проверьте, что каждый из получившихся углов находится между 0° и 180°.

13. Четырёхугольник: все четыре угла равны. Найдите x и четыре угла.
14. Четырёхугольник: два угла равны x, ещё два равны 2x. Найдите x и четыре угла.
15. Четырёхугольник: отношение углов 1 : 2 : 3 : 4. Найдите x и четыре угла.
16. Четырёхугольник: углы равны x+20°, x+30°, x+40°, x+50°. Найдите x и четыре угла.
17. Четырёхугольник: два угла равны x°, два — (x+30)°. Найдите x и четыре угла.
18. Четырёхугольник: два угла 2x°, два — x°. Найдите x и четыре угла.
19. Четырёхугольник: углы равны (x+15)°, (x+35)°, (x+55)°, (x+75)°. Найдите x и четыре угла.
20. Четырёхугольник: углы равны x°, (x+20)°, (x+40)°, (x+60)°. Найдите x и четыре угла.

Исследовательская карточка: верно или неверно?

В заданиях 21–28 важно не угадывать. Сначала проверяйте сумму, затем допустимость каждого угла. Если утверждение неверно, укажите конкретное противоречие. Если верно, назовите проверенное свойство.

21. Выпуклый четырёхугольник может иметь углы 80°, 95°, 100°, 85°. Верно ли?
22. У четырёхугольника углы 70°, 80°, 90°, 100°. Возможен ли он?
23. Если три угла выпуклого четырёхугольника острые, четвёртый обязательно тупой. Верно?
24. Могут ли два угла выпуклого четырёхугольника быть по 170°, а другие по 10°?
25. Могут ли три угла выпуклого четырёхугольника быть по 120°, а четвёртый 0°?
26. Если четыре угла по 90°, является ли фигура прямоугольником?
27. Если три угла равны 110°, 100°, 80°, четвёртый равен 70°. Верно?
28. Если один угол 150°, остальные три могут быть по 80°. Верно?

Ключ для учителя: вычисления

1. ∠D = 360° − (78° + 82° + 94°) = 106°.
2. ∠D = 360° − (105° + 85° + 65°) = 105°.
3. ∠D = 360° − (65° + 75° + 115°) = 105°.
4. ∠D = 360° − (90° + 90° + 90°) = 90°.
5. ∠D = 360° − (120° + 80° + 70°) = 90°.
6. ∠D = 360° − (110° + 105° + 75°) = 70°.
7. ∠D = 360° − (88° + 92° + 100°) = 80°.
8. ∠D = 360° − (130° + 80° + 65°) = 85°.
9. ∠D = 360° − (95° + 105° + 85°) = 75°.
10. ∠D = 360° − (115° + 95° + 80°) = 70°.
11. ∠D = 360° − (102° + 88° + 90°) = 80°.
12. ∠D = 360° − (75° + 115° + 105°) = 65°.

13. 4x + 0 = 360; x = 90°. Углы: 90°, 90°, 90°, 90°.
14. 6x + 0 = 360; x = 60°. Углы: 60°, 60°, 120°, 120°.
15. 10x + 0 = 360; x = 36°. Углы: 36°, 72°, 108°, 144°.
16. 4x + 140 = 360; x = 55°. Углы: 75°, 85°, 95°, 105°.
17. 4x + 60 = 360; x = 75°. Углы: 75°, 75°, 105°, 105°.
18. 6x + 0 = 360; x = 60°. Углы: 120°, 120°, 60°, 60°.
19. 4x + 180 = 360; x = 45°. Углы: 60°, 80°, 100°, 120°.
20. 4x + 120 = 360; x = 60°. Углы: 60°, 80°, 100°, 120°.

21. Верно. Сумма 360°, каждый угол меньше 180°; такое сочетание допустимо.
22. Неверно. Сумма 340°, значит описанный набор невозможен.
23. Верно. Сумма трёх острых углов строго меньше 270°, поэтому четвёртый угол больше 90°.
24. Верно. 170+170+10+10 = 360; все углы строго между 0° и 180°.
25. Неверно. Нулевой внутренний угол невозможен у невырожденного выпуклого четырёхугольника.
26. Верно. Да: по определению четырёхугольник с четырьмя прямыми углами — прямоугольник.
27. Верно. 360 − (110+100+80) = 70°.
28. Неверно. 150+3·80 = 390°, больше 360°.

Почему 360° — недостаточная проверка в одной ситуации

Для углов выпуклого четырёхугольника мало проверить только сумму 360°: все четыре угла должны быть положительными и меньше 180°. Например, набор 200°, 60°, 50°, 50° имеет сумму 360°, но угол 200° означает вогнутость; он не подходит заданному условию. Поэтому в задачах 13–20 обязательно проверяйте диапазон каждого угла.

Методический приём: ошибки хорошо заметны при взаимопроверке, если ученик сначала объясняет построение диагонали, потом сумму, а уже затем вычисления. Ошибка «180° вместо 360°» часто возникает из-за переноса свойства треугольника на четырёхугольник. Ошибка «360° подходит всегда» устраняется обсуждением выпуклости и недопустимости нулевого угла.

Оценка: за каждую задачу 1–12 — по баллу за верный угол; за 13–20 — по одному за уравнение и по одному за проверку четырёх углов; за 21–28 — по одному за вывод и за объяснение. Максимум 44 балла. Для быстрой диагностики можно взять по три задания из каждого блока, а полный практикум использовать для закрепления.

Рабочий разбор на доске: зачем нужна диагональ

Выберите произвольный выпуклый четырёхугольник ABCD. Соедините вершины A и C отрезком: весь отрезок будет лежать внутри фигуры. Обозначьте углы двух полученных треугольников. В треугольнике ABC сумма трёх углов составляет 180°, в треугольнике ACD тоже 180°. Углы при B и D совпадают с углами четырёхугольника, а угол при A разбивается диагональю на два меньших; аналогично угол при C. Поэтому общая сумма равна 180° + 180° = 360°. Такое доказательство намного надёжнее механического запоминания числа 360.

Покажите разницу между суммой внутренних углов и суммой внешних углов. Для внутренней суммы используется правило 360° у четырёхугольника. При обходе выпуклой фигуры по её сторонам сумма внешних поворотов тоже составляет полный оборот 360°, но это уже другая величина и другой способ рассуждения. В заданиях 1–28 речь именно о внутренних углах; каждый заданный угол относится к вершине многоугольника.

Разбор уравнения с четырьмя выражениями

Предположим, что углы даны как x, x, 2x и 2x. Составляем x + x + 2x + 2x = 360, значит 6x = 360 и x = 60. Возвращаемся к исходной четвёрке: 60°, 60°, 120°, 120°. Проверка суммы показывает 360°, а проверка каждого угла — величины строго между 0° и 180°. Так проводится полный контроль задания 14. Если записать только x = 60°, ответ будет неполным: спрашивались все четыре угла.

Другой полезный пример — четыре угла вида x + 20°, x + 30°, x + 40°, x + 50°. Их сумма равна 4x + 140°, поэтому 4x = 220° и x = 55°. Углы получаются 75°, 85°, 95°, 105°. Распространённая ошибка — вычислить x, но не прибавить константы. Чтобы проверить себя, подпишите найденные углы возле нарисованных вершин и вновь сложите их. Если один угол оказался больше 180°, заданная фигура не может быть выпуклой.

Как организовать работу в классе

Первый этап — устное обоснование свойства 360° через диагональ. Второй — пять задач на вычисление одного неизвестного угла из первой таблицы. Третий — карточка с x и суммой выражений: здесь проверяется переход от геометрии к линейному уравнению. Четвёртый — обсуждение верных и неверных утверждений. Не смешивайте проверку углов и вычисление неизвестного до того, как дети уверенно составляют сумму.

Для индивидуальной работы предложите каждому ученику решить задания 1, 4, 7, 13, 16, 21 и 24 без ключа. Затем он должен не просто сравнить числа с ответами, а указать для каждого неверного решения причину: ошибка сложения, неверное составление уравнения или игнорирование выпуклости. При работе в паре один ученик объясняет, почему угол существует, второй проверяет сумму и допустимость.

Короткий итог для записи в тетради: сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника 360°; неизвестный угол равен 360° минус сумма трёх известных; при буквенных выражениях составляем уравнение; каждому внутреннему углу выпуклого четырёхугольника разрешены значения строго между 0° и 180°. Это четыре проверки, которые можно использовать независимо от вида чертежа.

Перед проверкой числовых ответов можно предложить ученику оценить результат на глаз: если три угла уже занимают около 300°, последний должен быть примерно 60°, а не 160°. Такая приблизительная проверка не заменяет точного вычисления, но быстро обнаруживает ошибку. У учащихся, которые путают обозначение градусов и переменную x, полезно договориться: x — число градусов, а итоговая запись угла всегда сопровождается знаком °.

Для проверки допустимости углов не нужно знать длины сторон: в этих задачах работа ведётся с внутренними углами. Запись 360° — обязательная, но её надо сопровождать проверкой положительности каждого угла и условием выпуклости. Именно эти условия отличают полный ответ от удачного вычисления.

Совет для печати: сначала распечатайте разделы с заданиями ученику; ответы и решения вынесены отдельно для учителя и самопроверки.