Задачи на уменьшение по фиксированному множителю для 9 класса — упражнения с решениями

Печатный лист рассчитан на двух учащихся. Партнёры решают по восемь заданий, затем меняются тетрадями и обосновывают полученные ответы. Тема — уменьшение величины по одному и тому же положительному множителю q, где 0 < q < 1. Такое уменьшение отличается от вычитания постоянного числа: на каждом новом шаге доля берётся от текущего, а не от первоначального значения.

Прежде чем раздать карточки

Величина 80, уменьшающаяся вдвое на каждом шаге, принимает значения 80 → 40 → 20 → 10. Значит, после трёх шагов она равна 80 · (1/2)³ = 10. Мы будем нумеровать состояния от нуля: A₀ — начало, Aₖ — значение после k шагов. Если сказано «уменьшается в 3 раза», множитель q равен 1/3. Если сказано «уменьшается на 25%», множитель равен 3/4. Уменьшение на 25% и деление на 25 — разные действия.

Карточка ученика А: вычисление и обратный ход

Ученик А решает пункты 1–8. Для прямых задач покажите подстановку в формулу Aₖ = A₀ · qᵏ; для обратных — деление конечного результата на qᵏ. Сначала работайте самостоятельно. Партнёру передавайте только пронумерованные ответы и расчёты, без ключа.

1. Бумажные полоски после сгибания: первоначально 128 см; после каждого шага остаётся 1/2 от предыдущего. Найдите значение после 4 шагов.
2. Количество условных частиц: первоначально 729 частиц; после каждого шага остаётся 1/3 от предыдущего. Найдите значение после 3 шагов.
3. Остаток ленты после уменьшения: первоначально 256 см; после каждого шага остаётся 1/4 от предыдущего. Найдите значение после 3 шагов.
4. Площадь условной фигуры: первоначально 625 кв. ед.; после каждого шага остаётся 1/5 от предыдущего. Найдите значение после 3 шагов.
5. После 3 шагов осталась 18 (длина). Каждый шаг оставлял долю 1/2. Найдите первоначальное значение.
6. После 3 шагов осталась 9 (количество). Каждый шаг оставлял долю 1/3. Найдите первоначальное значение.
7. Было 256 условных кубиков, осталось 8; после каждого шага оставалась доля 1/2. Сколько шагов прошло?
8. Было 243 фишек, осталось 3; после каждого шага оставалась доля 1/3. Сколько шагов прошло?

Карточка ученика Б: самостоятельная альтернативная серия

Ученик Б получает задания 9–16. Проверяйте, что модуль значения постепенно уменьшается и не становится отрицательным, если начальная величина положительна. В двух последних пунктах приведён неверный способ: нужно найти, на каком действии допущена ошибка, исправить вычисления и объяснить правило.

9. Масса модельного образца: первоначально 480 г; остаётся доля 1/2 после каждого шага. Определите значение после 4 шагов.
10. Площадь бумаги: первоначально 512 кв. см; остаётся доля 1/2 после каждого шага. Определите значение после 5 шагов.
11. После 3 шагов масса составила 4. При каждом шаге оставалась доля 1/4. Найдите начальное значение.
12. После 2 шагов площадь составила 5. При каждом шаге оставалась доля 1/5. Найдите начальное значение.
13. Начальное количество — 320 бумажных фигур, конечное — 10. Множитель каждого шага 1/2. Найдите количество шагов.
14. Начальное количество — 625 единиц массы, конечное — 5. Множитель каждого шага 1/5. Найдите количество шагов.
15. Начальное значение 100, q = 1/2, k = 3. Ученик написал «100 − 3 · 50 = −50». Исправьте ошибку и найдите точный итог.
16. Начальное значение 81, q = 1/3, k = 2. Ученик написал «81 / 3 · 2 = 54». Исправьте ошибку и найдите точный итог.

Как провести взаимопроверку

• Сначала партнёры обмениваются решениями и проверяют формулу, не обращаясь к готовому ключу.
• Проверяющий отмечает число переходов: начало — шаг 0, первый переход — шаг 1.
• При неверном результате нужно назвать причину: перепутан множитель, показатель степени, обратное действие или последовательное уменьшение заменено вычитанием.
• После совместной проверки оба ученика сравнивают выводы с учительским ключом ниже и записывают по одному правилу, которое пригодится на следующем уроке.

Правильные ответы: учителю и для обмена карточками

1. A₄ = 128 · (1/2)⁴ = 8 см.
2. A₃ = 729 · (1/3)³ = 27 частиц.
3. A₃ = 256 · (1/4)³ = 4 см.
4. A₃ = 625 · (1/5)³ = 5 кв. ед..
5. A₀ = 18 / (1/2)³ = 144; проверка повторным уменьшением.
6. A₀ = 9 / (1/3)³ = 243; проверка повторным уменьшением.
7. 5 шагов. Цепочка: 256 → 128 → 64 → 32 → 16 → 8.
8. 4 шагов. Цепочка: 243 → 81 → 27 → 9 → 3.
9. A₄ = 480 · (1/2)⁴ = 30 г.
10. A₅ = 512 · (1/2)⁵ = 16 кв. см.
11. A₀ = 4 / (1/4)³ = 256.
12. A₀ = 5 / (1/5)² = 125.
13. 5 шагов. Цепочка: 320 → 160 → 80 → 40 → 20 → 10.
14. 3 шагов. Цепочка: 625 → 125 → 25 → 5.
15. Решение «100 − 3 · 50 = −50» неверно: каждый раз берётся доля от текущего значения. A₃ = 100 · (1/2)³ = 25/2.
16. Решение «81 / 3 · 2 = 54» неверно: каждый раз берётся доля от текущего значения. A₂ = 81 · (1/3)² = 9.

Оценивание: на каждое упражнение по 2 балла — один за правильную модель, второй за результат и проверку. Каждая карточка оценивается максимум в 16 баллов. Если партнёры расходятся во мнениях, сначала сравните последовательность шагов, затем вычисления. Для работы в 9 классе достаточно обычных дробей и степеней с натуральным показателем; логарифмы не требуются.

Предупреждение к текстовым задачам: математическая модель не утверждает, что реальные физические предметы всегда можно делить бесконечно. Здесь количество шагов задано и значения выбраны так, чтобы результат имел понятный смысл и не требовал оговорок о дробных предметах. Если возникает округление в иной прикладной задаче, правило округления должно быть дано явно.

Пример проверки для обеих карточек: условный запас 192 единицы уменьшается до 3/4 предыдущего после каждого шага. Промежуточные результаты: 192 → 144 → 108 → 81. После трёх шагов ответ 81, и все три деления проверяются обратным умножением на 4/3. Если ученик вместо этого вычитает каждый раз четверть от исходных 192, он получит последовательность 192, 144, 96, 48 — это другая модель, с постоянной разностью, а не с постоянным множителем. Сравнение двух цепочек показывает, почему перед расчётом нужно внимательно прочитать слово «каждого».