Проверочная работа: угол между векторами через скалярное произведение — 9 класс

Эта проверочная работа посвящена не вычислению угла транспортиром, а анализу угла между двумя ненулевыми векторами через скалярное произведение. Здесь есть задания с точными углами 0°, 45°, 90°, 135° и 180°, а также пары, где достаточно установить, острый угол или тупой. Для решения не требуются приближённые значения косинусов и калькулятор.

Формула и смысл знака

Для ненулевых векторов a и b справедливо a·b = |a|·|b|·cos φ, где φ лежит от 0° до 180°. Так как длины векторов положительны, знак скалярного произведения совпадает со знаком cos φ. Положительный результат означает острый угол либо 0°; нулевой — прямой; отрицательный — тупой либо 180°. Отдельные крайние случаи надо подтвердить направлением векторов.

Образец № 1. a = (3; 1), b = (1; −3). Скалярное произведение 3·1 + 1·(−3) = 0. Следовательно, векторы перпендикулярны, φ = 90°. Образец № 2. a = (1; 0), b = (1; 1). Длины равны 1 и √2, скалярное произведение равно 1, поэтому cos φ = 1/√2 и угол равен 45°. Запишите модуль векторов только тогда, когда нужно установить точное значение.

Мини-проверочная. Часть А: точный угол

Для первых восьми пар определите угол из набора 0°, 45°, 90°, 135°, 180°. Не выбирайте ответ наугад: сначала найдите a·b, затем, если оно не равно нулю, сравните направления или вычислите cos φ. Один-два примера объясните полностью словами.

1. a = (1, 0), b = (0, 2). Угол φ = ______; a·b = ______.
2. a = (2, 1), b = (4, 2). Угол φ = ______; a·b = ______.
3. a = (3, −2), b = (−6, 4). Угол φ = ______; a·b = ______.
4. a = (1, 0), b = (1, 1). Угол φ = ______; a·b = ______.
5. a = (0, 2), b = (2, 2). Угол φ = ______; a·b = ______.
6. a = (2, 0), b = (−2, 2). Угол φ = ______; a·b = ______.
7. a = (1, 1), b = (−1, 1). Угол φ = ______; a·b = ______.
8. a = (2, 1), b = (1, −2). Угол φ = ______; a·b = ______.

Часть Б: классификация, даже если угол не табличный

В этих примерах некоторые углы не равны целому кратному 45°. Не надо выдумывать точные значения: укажите «острый», «прямой» или «тупой». Если скалярное произведение положительно, но векторы не пропорциональны с положительным коэффициентом, это острый угол, а не нулевой.

9. a = (3, 1), b = (2, 0). Найдите знак a·b и тип угла: ______.
10. a = (2, 5), b = (−1, 3). Найдите знак a·b и тип угла: ______.
11. a = (1, 4), b = (−5, 1). Найдите знак a·b и тип угла: ______.
12. a = (−2, 3), b = (1, −4). Найдите знак a·b и тип угла: ______.
13. a = (1, 2), b = (1, 3). Найдите знак a·b и тип угла: ______.
14. a = (2, 3), b = (−3, 2). Найдите знак a·b и тип угла: ______.
15. a = (−1, −2), b = (−2, −4). Найдите знак a·b и тип угла: ______.
16. a = (2, 3), b = (−4, −6). Найдите знак a·b и тип угла: ______.

Часть В: финальный контроль

Последние шесть пунктов проверяют пограничные случаи, кратные векторы и распознавание угла 45°/135°. Для точного угла сравните квадрат скалярного произведения с половиной произведения квадратов длин: при отношении 1/2 получается cos²φ = 1/2. Это дополнительный приём, не обязательный для всех программ: можно воспользоваться длинами векторов и известными значениями косинуса.

17. a = (1, 1), b = (1, −1). Тип/значение угла: ______; доказательство: __________.
18. a = (1, 0), b = (−1, −1). Тип/значение угла: ______; доказательство: __________.
19. a = (0, −2), b = (−3, −3). Тип/значение угла: ______; доказательство: __________.
20. a = (2, 0), b = (2, −2). Тип/значение угла: ______; доказательство: __________.
21. a = (2, −1), b = (−3, −4). Тип/значение угла: ______; доказательство: __________.
22. a = (−2, 5), b = (2, 2). Тип/значение угла: ______; доказательство: __________.

Ключ учителю с расчётом для каждого номера

1. прямой, 90°. a·b = 1·(0) + 0·(2) = 0; |a|²=1, |b|²=4. Знак произведения и длины подтверждают вывод.
2. нулевой, 0°. a·b = 2·(4) + 1·(2) = 10; |a|²=5, |b|²=20. Углы 0° и 180° возможны благодаря пропорциональности векторов.
3. развёрнутый, 180°. a·b = 3·(-6) + -2·(4) = −26; |a|²=13, |b|²=52. Углы 0° и 180° возможны благодаря пропорциональности векторов.
4. острый, 45°. a·b = 1·(1) + 0·(1) = 1; |a|²=1, |b|²=2. Знак произведения и длины подтверждают вывод.
5. острый, 45°. a·b = 0·(2) + 2·(2) = 4; |a|²=4, |b|²=8. Знак произведения и длины подтверждают вывод.
6. тупой, 135°. a·b = 2·(-2) + 0·(2) = −4; |a|²=4, |b|²=8. Знак произведения и длины подтверждают вывод.
7. прямой, 90°. a·b = 1·(-1) + 1·(1) = 0; |a|²=2, |b|²=2. Знак произведения и длины подтверждают вывод.
8. прямой, 90°. a·b = 2·(1) + 1·(-2) = 0; |a|²=5, |b|²=5. Знак произведения и длины подтверждают вывод.
9. острый. a·b = 3·(2) + 1·(0) = 6; |a|²=10, |b|²=4. Знак произведения и длины подтверждают вывод.
10. острый. a·b = 2·(-1) + 5·(3) = 13; |a|²=29, |b|²=10. Знак произведения и длины подтверждают вывод.
11. тупой. a·b = 1·(-5) + 4·(1) = −1; |a|²=17, |b|²=26. Знак произведения и длины подтверждают вывод.
12. тупой. a·b = -2·(1) + 3·(-4) = −14; |a|²=13, |b|²=17. Знак произведения и длины подтверждают вывод.
13. острый. a·b = 1·(1) + 2·(3) = 7; |a|²=5, |b|²=10. Знак произведения и длины подтверждают вывод.
14. прямой, 90°. a·b = 2·(-3) + 3·(2) = 0; |a|²=13, |b|²=13. Знак произведения и длины подтверждают вывод.
15. нулевой, 0°. a·b = -1·(-2) + -2·(-4) = 10; |a|²=5, |b|²=20. Углы 0° и 180° возможны благодаря пропорциональности векторов.
16. развёрнутый, 180°. a·b = 2·(-4) + 3·(-6) = −26; |a|²=13, |b|²=52. Углы 0° и 180° возможны благодаря пропорциональности векторов.
17. прямой, 90°. a·b = 1·(1) + 1·(-1) = 0; |a|²=2, |b|²=2. Знак произведения и длины подтверждают вывод.
18. тупой, 135°. a·b = 1·(-1) + 0·(-1) = −1; |a|²=1, |b|²=2. Знак произведения и длины подтверждают вывод.
19. острый, 45°. a·b = 0·(-3) + -2·(-3) = 6; |a|²=4, |b|²=18. Знак произведения и длины подтверждают вывод.
20. острый, 45°. a·b = 2·(2) + 0·(-2) = 4; |a|²=4, |b|²=8. Знак произведения и длины подтверждают вывод.
21. тупой. a·b = 2·(-3) + -1·(-4) = −2; |a|²=5, |b|²=25. Знак произведения и длины подтверждают вывод.
22. острый. a·b = -2·(2) + 5·(2) = 6; |a|²=29, |b|²=8. Знак произведения и длины подтверждают вывод.

Оценивание и коррекция

Для № 1–8 и № 17–20 можно выставлять два балла за каждое задание: один за правильное скалярное произведение, второй за угол. Для классификации № 9–16 и № 21–22 достаточно указать знак произведения и тип угла. Если ученик выводит 90° из равенства a·b = 0, но один из векторов нулевой, нужно напомнить, что угол с нулевым вектором не определён. В этих карточках нулевых векторов нет.

Типичные пробелы: путаница со знаком произведения при отрицательных координатах; смешение длины и квадрата длины; попытка получить точный угол из одного только знака. Полезная устная проверка: могут ли скалярное произведение 0 и острый угол существовать одновременно для двух ненулевых векторов? Нет. Может ли положительное произведение означать φ = 0°? Да, если один вектор — положительный множитель другого.