Учимся решать: комбинаторное правило произведения в двух шагах — задания для 9 класса

Правило произведения пригодно, когда выбор выполняют в два последовательных шага. Если первый шаг допускает m вариантов, а после каждого из них второй имеет n вариантов, то всего m·n исходов. Важно не путать его с правилом суммы и не забывать об ограничениях: при выборе двух разных предметов второй шаг обычно содержит на один вариант меньше. Здесь есть независимые пары, выборы без повторений и коды с нулём в первой позиции.

Схема двух шагов: маршрут выбора

Пусть есть 3 маршрута до музея и 4 времени начала экскурсии, каждое время доступно для любого маршрута. После любого маршрута доступны 4 времени, поэтому число пар равно 3·4 = 12. Мысленно нарисуйте дерево: от начальной точки 3 ветви, от каждой из них ещё 4 ветви. Листьев 12. Если же маршруты обратно обязательно отличаются от маршрута туда, число вариантов второго шага уменьшается.

Стартовая серия: независимые выборы

В первых десяти упражнениях результат определяется двумя независимыми решениями. Заполните возле задачи три поля: число вариантов первого шага, число вариантов второго, произведение. Если шаги описаны предметами, сформулируйте, что именно считает каждая цифра.

1. В шкафу 4 рубашки и 3 пары брюк. Сколько комплектов из рубашки и брюк? Первый шаг ___; второй ___; всего ___.
2. В кафе есть 5 супов и 2 вторых блюда. Сколько обедов из одного супа и второго? Первый шаг ___; второй ___; всего ___.
3. У ученика 3 обложки и 6 наклеек. Сколько способов выбрать по одному предмету? Первый шаг ___; второй ___; всего ___.
4. Для значка доступны 4 цвета фона и 5 символов. Сколько значков? Первый шаг ___; второй ___; всего ___.
5. Есть 2 вида конвертов и 7 видов открыток. Сколько пар? Первый шаг ___; второй ___; всего ___.
6. В игре 6 персонажей и 3 начальные карты. Сколько стартовых комбинаций? Первый шаг ___; второй ___; всего ___.
7. Номер состоит из двух цифр от 1 до 5. Повторение разрешено. Сколько номеров? Первый шаг ___; второй ___; всего ___.
8. Два броска кубика (по 6 граней). Сколько упорядоченных пар результатов? Первый шаг ___; второй ___; всего ___.
9. Билет задаётся одной из 8 букв и одной из 4 цифр. Сколько разных билетов? Первый шаг ___; второй ___; всего ___.
10. У герба 3 формы щита и 4 цвета рамки. Сколько вариантов? Первый шаг ___; второй ___; всего ___.

Контрольная точка: можно ли повторять выбор?

Задания 11–18 требуют прочесть ограничение «два разных» или «нельзя повторять». После того как первый предмет выбран, он больше не доступен для второго. Порядок важен: «капитан — заместитель» отличаются от «заместитель — капитан», даже если люди те же. Не нужно делить ответ на два, если роли разные.

11. Из 5 разных книг выбирают первую и вторую, одну книгу дважды брать нельзя. Сколько упорядоченных пар? Запишите множители ___·___ и ответ ___.
12. Из 7 спортсменов выбирают капитана и его заместителя. Один человек не может занимать обе роли. Сколько пар? Запишите множители ___·___ и ответ ___.
13. Код состоит из двух различных букв из 6 имеющихся. Сколько кодов? Запишите множители ___·___ и ответ ___.
14. Из 4 маршрутов выбирают путь туда и другой путь обратно. Сколько упорядоченных маршрутов? Запишите множители ___·___ и ответ ___.
15. Два разных места занимают 8 учеников: кто слева и кто справа. Сколько размещений? Запишите множители ___·___ и ответ ___.
16. Две различные цифры от 1 до 9 образуют двузначное число. Сколько чисел? Запишите множители ___·___ и ответ ___.
17. На двух разных полках выставляют 5 разных сувениров, по одному на полку. Сколько способов? Запишите множители ___·___ и ответ ___.
18. В финал выбирают победителя и призёра из 6 команд, команда не может занять две позиции. Сколько итогов? Запишите множители ___·___ и ответ ___.

Заполни пропуски, а потом проверь себя

В заключительных десяти упражнениях вновь встречаются разные наборы правил. Сравните № 21 и 22: разрешённые повторы и запрет повторения дают разные результаты. Также сравните код из символов и двузначное число: символ 0 может стоять на первом месте кода, а обычная запись двузначного числа не может начинаться с нуля.

19. Из 3 видов бумаги и 8 видов лент выбирают по одному для упаковки. Сколько наборов? Схема ___ × ___ = ___. Обоснуйте второй множитель.
20. Для фото выбирают 7 фильтров и 2 рамки. Сколько оформлений? Схема ___ × ___ = ___. Обоснуйте второй множитель.
21. Две цифры от 0 до 9 составляют двузначное число; первая не равна 0, повторение допускается. Сколько чисел? Схема ___ × ___ = ___. Обоснуйте второй множитель.
22. Двузначное число из цифр 0–9 без повторений: первая не 0. Сколько чисел? Схема ___ × ___ = ___. Обоснуйте второй множитель.
23. Монета подбрасывается два раза. Сколько последовательностей орла и решки? Схема ___ × ___ = ___. Обоснуйте второй множитель.
24. У коробки 6 цветов и 6 видов узора. Сколько вариантов коробок? Схема ___ × ___ = ___. Обоснуйте второй множитель.
25. Из 5 различных призов выбирают главный и утешительный; повторно приз не выбирают. Сколько пар? Схема ___ × ___ = ___. Обоснуйте второй множитель.
26. Код состоит из двух символов A, B, C, D, E, которые можно повторять. Сколько кодов? Схема ___ × ___ = ___. Обоснуйте второй множитель.
27. Из 4 школьных предметов выбирают урок 1 и другой урок 2. Сколько расписаний на два урока? Схема ___ × ___ = ___. Обоснуйте второй множитель.
28. Сначала выбирают один из 3 парков, потом один из 5 одинаково доступных аттракционов в каждом парке. Сколько пар «парк–аттракцион»? Схема ___ × ___ = ___. Обоснуйте второй множитель.

Ключ: все 28 ответов и короткие обоснования

1. 4·3 = 12. Число вариантов второго шага одинаково после каждого первого выбора.
2. 5·2 = 10. Число вариантов второго шага одинаково после каждого первого выбора.
3. 3·6 = 18. Число вариантов второго шага одинаково после каждого первого выбора.
4. 4·5 = 20. Число вариантов второго шага одинаково после каждого первого выбора.
5. 2·7 = 14. Число вариантов второго шага одинаково после каждого первого выбора.
6. 6·3 = 18. Число вариантов второго шага одинаково после каждого первого выбора.
7. 5·5 = 25. Число вариантов второго шага одинаково после каждого первого выбора.
8. 6·6 = 36. Число вариантов второго шага одинаково после каждого первого выбора.
9. 8·4 = 32. Число вариантов второго шага одинаково после каждого первого выбора.
10. 3·4 = 12. Число вариантов второго шага одинаково после каждого первого выбора.
11. 5·4 = 20. Первый выбор исключается из второго: порядок двух различных ролей или позиций сохраняется.
12. 7·6 = 42. Первый выбор исключается из второго: порядок двух различных ролей или позиций сохраняется.
13. 6·5 = 30. Первый выбор исключается из второго: порядок двух различных ролей или позиций сохраняется.
14. 4·3 = 12. Первый выбор исключается из второго: порядок двух различных ролей или позиций сохраняется.
15. 8·7 = 56. Первый выбор исключается из второго: порядок двух различных ролей или позиций сохраняется.
16. 9·8 = 72. Первый выбор исключается из второго: порядок двух различных ролей или позиций сохраняется.
17. 5·4 = 20. Первый выбор исключается из второго: порядок двух различных ролей или позиций сохраняется.
18. 6·5 = 30. Первый выбор исключается из второго: порядок двух различных ролей или позиций сохраняется.
19. 3·8 = 24. Число вариантов второго шага одинаково после каждого первого выбора.
20. 7·2 = 14. Число вариантов второго шага одинаково после каждого первого выбора.
21. 9·10 = 90. Числа вариантов заданы с учётом допустимого первого разряда и возможности повторения.
22. 9·9 = 81. Первый выбор исключается из второго: порядок двух различных ролей или позиций сохраняется.
23. 2·2 = 4. Число вариантов второго шага одинаково после каждого первого выбора.
24. 6·6 = 36. Число вариантов второго шага одинаково после каждого первого выбора.
25. 5·4 = 20. Первый выбор исключается из второго: порядок двух различных ролей или позиций сохраняется.
26. 5·5 = 25. Число вариантов второго шага одинаково после каждого первого выбора.
27. 4·3 = 12. Первый выбор исключается из второго: порядок двух различных ролей или позиций сохраняется.
28. 3·5 = 15. Число вариантов второго шага одинаково после каждого первого выбора.

Критерии для учителя и полезная самопроверка

За каждую задачу можно начислить 1 балл за верное определение двух шагов и 1 балл за произведение. Важнее не итоговое число, а объяснение, почему второй множитель именно такой. Если ученик получил 25 вместо 20 для пары разных книг, попросите зафиксировать первую книгу и перечислить все варианты второй — их осталось четыре. Если написал 100 для двузначных чисел, обсудите ведущий нуль.

Вычислительный контроль: перечисление исходов вручную уместно для 2–3 вариантов, например при выборе из двух монетных исходов дважды: ОО, ОР, РО, РР — ровно четыре. После этого дерево быстро становится громоздким; правило произведения заменяет его. Но нельзя перемножать произвольные числа, если в разных ветвях количество продолжений различается. Такая ситуация требует разбить случаи на группы и сложить количества.

Для домашней практики предложите ученику придумать собственную задачу про два шага, в которой разрешены повторы, и изменить в условии только одно слово — «разные». Результат должен уменьшиться, если число вариантов на втором шаге из-за нового ограничения сократилось. Так проверяется понимание, а не заучивание формулы.