Разбор типичных ошибок: вероятность событий при извлечении шара — 9 класс

Разбор типичных ошибок • 9 класс • 20 заданий. В каждом опыте из непрозрачного мешка наугад достают ровно один шар. Шары одной окраски различаются как отдельные физические предметы; предполагается, что каждый шар одинаково вероятно извлечь. После извлечения опыт заканчивается: без повторных доставаний, замены и возвращения шаров.

Вопросы на понимание до вычислений

Почему нельзя делить на количество цветов? Если в мешке 4 красных, 3 синих и 2 зелёных шара, всего 9 равновозможных исходов, а не 3. Вероятность красного — 4/9. Каждому шару соответствует один исход, даже когда его цвет совпадает с цветом другого шара.

Чем отличаются события «красный или зелёный» и «красный и зелёный»? При одном извлечении один шар не может одновременно иметь оба цвета; событие с союзом «или» включает шары обоих цветов и требует сложить их количества. Например, при 4 красных, 3 синих и 2 зелёных P(красный или зелёный) = (4 + 2)/9 = 2/3.

Когда событие написано через «не», удобно использовать дополнение: P(не синий) = 1 − P(синий). Так можно сделать вторую независимую проверку дроби: подсчитать количество всех не-синих шаров и разделить на общее количество.

• Определите общее количество шаров и запишите его в знаменателе.
• Выделите благоприятные цвета, не пропуская оговорку «не».
• Проверьте, что числитель не превышает знаменатель; при необходимости сократите дробь.

Блок А — исправь решение с неверным знаменателем

Задания 1–4: запишите правильную вероятность. Представьте, что другой ученик считает, будто все три цвета равновозможны независимо от числа шаров. Ваша задача — объяснить, почему это неверно для каждого набора.

1. В мешке 4 красных, 3 синих, 2 зелёных шаров. Найдите P(красный); укажите, почему знаменатель не равен 3.
2. В мешке 5 красных, 2 синих, 3 зелёных шаров. Найдите P(не синий); укажите, почему знаменатель не равен 3.
3. В мешке 2 красных, 4 синих, 1 зелёных шаров. Найдите P(зелёный); укажите, почему знаменатель не равен 3.
4. В мешке 6 красных, 3 синих, 1 зелёных шаров. Найдите P(не красный); укажите, почему знаменатель не равен 3.

Блок Б — заполняем недостающее звено рассуждения

Задания 5–12: выпишите дробь в виде «число подходящих шаров / число всех шаров». Для каждого задания объясните, каким образом вы получили числитель: взяли число шаров одного цвета, сложили два цвета или вычли один цвет из общего количества.

5. 3 красных, 5 синих, 2 зелёных. Определите P(синий). Числитель = ____; знаменатель = ____.
6. 4 красных, 1 синих, 5 зелёных. Определите P(красный или зелёный). Числитель = ____; знаменатель = ____.
7. 7 красных, 2 синих, 1 зелёных. Определите P(не зелёный). Числитель = ____; знаменатель = ____.
8. 2 красных, 3 синих, 5 зелёных. Определите P(не синий). Числитель = ____; знаменатель = ____.
9. 1 красных, 4 синих, 5 зелёных. Определите P(красный). Числитель = ____; знаменатель = ____.
10. 3 красных, 3 синих, 4 зелёных. Определите P(синий или зелёный). Числитель = ____; знаменатель = ____.
11. 5 красных, 4 синих, 1 зелёных. Определите P(не красный). Числитель = ____; знаменатель = ____.
12. 2 красных, 6 синих, 2 зелёных. Определите P(синий). Числитель = ____; знаменатель = ____.

Блок В — задачи на поиск ошибки

Номера 13–16: кроме результата, придумайте один правдоподобный неверный ответ, который может получить невнимательный ученик, и подпишите тип ошибки. Например, он мог забыть один из цветов, перепутать «не» или не сократить дробь. Неверный ответ не засчитывайте вместо верного.

13. Есть 4 красных, 4 синих и 4 зелёных шаров. Вычислите P(зелёный) и опишите возможную ошибку.
14. Есть 8 красных, 1 синих и 1 зелёных шаров. Вычислите P(не синий) и опишите возможную ошибку.
15. Есть 3 красных, 2 синих и 1 зелёных шаров. Вычислите P(красный или синий) и опишите возможную ошибку.
16. Есть 1 красных, 1 синих и 6 зелёных шаров. Вычислите P(не зелёный) и опишите возможную ошибку.

Блок Г — мини-самостоятельная

На задания 17–20 отведите 6–8 минут. Не пользуйтесь ответами до окончания. За каждое верно составленное отношение благоприятных исходов ко всем исходам — один балл, за сокращение дроби и грамотное объяснение события — ещё один балл.

17. В мешке 3 красных, 4 синих, 5 зелёных шаров. Вероятность события «не красный» равна ______.
18. В мешке 7 красных, 1 синих, 4 зелёных шаров. Вероятность события «красный» равна ______.
19. В мешке 2 красных, 7 синих, 3 зелёных шаров. Вероятность события «зелёный или красный» равна ______.
20. В мешке 5 красных, 3 синих, 4 зелёных шаров. Вероятность события «синий» равна ______.

Ключ: расчёт и проверка каждого ответа

Ключ дан отдельно от заданий. Ответ верен, если указанная дробь совпадает с отношением числа подходящих шаров к количеству всех шаров, даже если дробь оставлена несокращённой. Сокращение полезно для сравнения вероятностей, но не изменяет само событие.

1. Всего 9 шаров, благоприятных 4: P(красный) = 4/9 = 4/9. Проверка: 4 не превышает 9.
2. Всего 10 шаров, благоприятных 8: P(не синий) = 8/10 = 4/5. Проверка: 8 не превышает 10.
3. Всего 7 шаров, благоприятных 1: P(зелёный) = 1/7 = 1/7. Проверка: 1 не превышает 7.
4. Всего 10 шаров, благоприятных 4: P(не красный) = 4/10 = 2/5. Проверка: 4 не превышает 10.
5. Всего 10 шаров, благоприятных 5: P(синий) = 5/10 = 1/2. Проверка: 5 не превышает 10.
6. Всего 10 шаров, благоприятных 9: P(красный или зелёный) = 9/10 = 9/10. Проверка: 9 не превышает 10.
7. Всего 10 шаров, благоприятных 9: P(не зелёный) = 9/10 = 9/10. Проверка: 9 не превышает 10.
8. Всего 10 шаров, благоприятных 7: P(не синий) = 7/10 = 7/10. Проверка: 7 не превышает 10.
9. Всего 10 шаров, благоприятных 1: P(красный) = 1/10 = 1/10. Проверка: 1 не превышает 10.
10. Всего 10 шаров, благоприятных 7: P(синий или зелёный) = 7/10 = 7/10. Проверка: 7 не превышает 10.
11. Всего 10 шаров, благоприятных 5: P(не красный) = 5/10 = 1/2. Проверка: 5 не превышает 10.
12. Всего 10 шаров, благоприятных 6: P(синий) = 6/10 = 3/5. Проверка: 6 не превышает 10.
13. Всего 12 шаров, благоприятных 4: P(зелёный) = 4/12 = 1/3. Проверка: 4 не превышает 12.
14. Всего 10 шаров, благоприятных 9: P(не синий) = 9/10 = 9/10. Проверка: 9 не превышает 10.
15. Всего 6 шаров, благоприятных 5: P(красный или синий) = 5/6 = 5/6. Проверка: 5 не превышает 6.
16. Всего 8 шаров, благоприятных 2: P(не зелёный) = 2/8 = 1/4. Проверка: 2 не превышает 8.
17. Всего 12 шаров, благоприятных 9: P(не красный) = 9/12 = 3/4. Проверка: 9 не превышает 12.
18. Всего 12 шаров, благоприятных 7: P(красный) = 7/12 = 7/12. Проверка: 7 не превышает 12.
19. Всего 12 шаров, благоприятных 5: P(зелёный или красный) = 5/12 = 5/12. Проверка: 5 не превышает 12.
20. Всего 12 шаров, благоприятных 3: P(синий) = 3/12 = 1/4. Проверка: 3 не превышает 12.

Критерии самопроверки

Оцените не только цифру в ответе. Научился ли ученик выделять опыт «один шар», пояснять числитель и знаменатель, различать союзы «или» и «и», находить противоположное событие? Если ошибка возникла из-за неверного общего количества, повторите подсчёт всех шаров. Если неверно понято событие, составьте список подходящих цветов. Если ошибочно сложены дроби, вернитесь к подсчёту предметов.

Задача для устного продолжения: в каком случае P(красный) было бы 1/3? Не достаточно иметь в мешке три цвета: число красных шаров должно составлять ровно треть общего количества. Этот вопрос помогает осознать отличие числа цветов от числа равновозможных исходов.