Проверочная работа: знаки тригонометрических функций по четвертям — 10 класс
На единичной окружности sin α соответствует ординате точки, а cos α — абсциссе. Поэтому в I четверти оба положительны, во II положителен только синус, в III оба отрицательны, а в IV положителен только косинус. Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — косинуса к синусу. На осях одно из отношений может не существовать.
Содержание статьи7 разделов
Ступень 1. Знак без вычисления
В каждом пункте запишите «+», «−», «0» или «не определён». Обязательно подпишите четверть (или ось).
- Укажите знак или особый случай: sin 40°.
- Укажите знак или особый случай: cos 125°.
- Укажите знак или особый случай: tg 205°.
- Укажите знак или особый случай: ctg 310°.
- Укажите знак или особый случай: cos 250°.
- Укажите знак или особый случай: sin 340°.
- Укажите знак или особый случай: tg 140°.
- Укажите знак или особый случай: ctg 235°.
Ступень 2. Будьте внимательны на осях
Если угол попал точно на ось, не подменяйте нуль отрицательным знаком и не делите на нуль. Перед ответом приведите угол к промежутку от 0° до 360°.
- Укажите знак или особый случай: sin 180°.
- Укажите знак или особый случай: cos 90°.
- Укажите знак или особый случай: tg 270°.
- Укажите знак или особый случай: ctg 180°.
Ступень 3. Углы больше оборота и отрицательные углы
Прибавление или вычитание 360° не меняет значение тригонометрической функции. Отрицательный угол отсчитывается по часовой стрелке, но знак снова определяется по конечной четверти.
- Укажите знак или особый случай: sin 510°.
- Укажите знак или особый случай: cos -60°.
- Укажите знак или особый случай: tg 765°.
- Укажите знак или особый случай: ctg 450°.
Оценивание. 16 баллов за 16 верных ответов. 14–16 — навык сформирован, 11–13 — повторить оси и IV четверть, 0–10 — потренироваться с единичной окружностью. В любой спорной записи попросите объяснение через синус и косинус, а не ссылку на заученную таблицу.
Разбор перед сдачей: почему знаки важнее табличных чисел
Рассмотрим угол 205°. Он расположен между 180° и 270°, то есть в третьей четверти. Синус и косинус там отрицательны, поэтому тангенс положителен: отношение двух отрицательных чисел имеет знак «плюс». Теперь возьмём 310°: это четвёртая четверть. Синус отрицателен, косинус положителен, значит котангенс отрицателен. Так один рисунок заменяет вычисления с неизвестными десятичными дробями.
Особый случай — угол 270°. Синус там равен −1, но косинус равен 0. Тангенс не определён именно из-за деления на ноль. Если ученик ставит в ответе «−», он верно вспомнил знак синуса, но забыл проверить знаменатель. При котангенсе 450° наоборот: sin 450°=1 и cos 450°=0, поэтому cot 450°=0. Разные варианты нельзя объединять общим правилом «на оси функция не существует».
Ключ для учителя и самопроверки
Ниже приведены решения. Для работы ученика распечатайте только часть страницы до этого раздела либо закройте ключ отдельным листом.
- +: угол приводится к 40°; это I четверть. Знак следует из координат точки на единичной окружности.
- −: угол приводится к 125°; это II четверть. Знак следует из координат точки на единичной окружности.
- +: угол приводится к 205°; это III четверть. Знак следует из координат точки на единичной окружности.
- −: угол приводится к 310°; это IV четверть. Знак следует из координат точки на единичной окружности.
- −: угол приводится к 250°; это III четверть. Знак следует из координат точки на единичной окружности.
- −: угол приводится к 340°; это IV четверть. Знак следует из координат точки на единичной окружности.
- −: угол приводится к 140°; это II четверть. Знак следует из координат точки на единичной окружности.
- +: угол приводится к 235°; это III четверть. Знак следует из координат точки на единичной окружности.
Оси и особые случаи
- 0: угол 180° лежит на координатной оси. Знак следует из координат точки на единичной окружности.
- 0: угол 90° лежит на координатной оси. Знак следует из координат точки на единичной окружности.
- не определён: угол 270° лежит на координатной оси. Отношение не существует, так как его знаменатель равен нулю.
- не определён: угол 180° лежит на координатной оси. Отношение не существует, так как его знаменатель равен нулю.
Большие и отрицательные углы
- +: угол приводится к 150°; это II четверть. Знак следует из координат точки на единичной окружности.
- +: угол приводится к 300°; это IV четверть. Знак следует из координат точки на единичной окружности.
- +: угол приводится к 45°; это I четверть. Знак следует из координат точки на единичной окружности.
- 0: угол 90° лежит на координатной оси. Знак следует из координат точки на единичной окружности.
Проверка метода: для tan 270° знаменатель cos 270° равен нулю; для cot 180° знаменатель sin 180° равен нулю. Поэтому в обоих случаях ответ «не определён», а не 0.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.