Диагностика навыка: приведение тригонометрических выражений к острому углу — 10 класс

Ситуация: построить «карту» большого угла

Ученик получил таблицу углов, некоторые превышают 180° и даже 360°. Двигаться наугад по значениям синуса нельзя. Надо сначала отложить угол на единичной окружности, затем найти острый опорный угол между конечным лучом и осью Ox, определить знак и только после этого вычислить значение.

Для углов 120°, 210°, 330° опорные углы соответственно 60°, 30°, 30°. Например: sin 150° = +sin 30° = 1/2; cos 240° = −cos 60° = −1/2. Угол 450° приведётся к 90°, и это уже не острый опорный угол: точка лежит на оси, поэтому её рассматривают отдельно.

Таблица А. Переведите числовые углы к опорному

Заполните каждую строку в три действия: опорный угол → знак → точное значение. Ответ лучше записывать дробью или выражением с корнем; округление не требуется.

1. sin 120° → опорный угол ___°; знак ___; точное значение ___.
2. cos 150° → опорный угол ___°; знак ___; точное значение ___.
3. tg 135° → опорный угол ___°; знак ___; точное значение ___.
4. cos 210° → опорный угол ___°; знак ___; точное значение ___.
5. sin 240° → опорный угол ___°; знак ___; точное значение ___.
6. tg 300° → опорный угол ___°; знак ___; точное значение ___.
7. cos 330° → опорный угол ___°; знак ___; точное значение ___.
8. sin 315° → опорный угол ___°; знак ___; точное значение ___.
9. ctg 225° → опорный угол ___°; знак ___; точное значение ___.
10. sin 390° → опорный угол ___°; знак ___; точное значение ___.
11. cos 420° → опорный угол ___°; знак ___; точное значение ___.
12. tg 495° → опорный угол ___°; знак ___; точное значение ___.

Таблица Б. Проверьте перенос навыка

Здесь встретятся отрицательные углы и больше одного оборота. Начинайте с приведения по модулю 360°, а не с попытки запомнить особую формулу для каждого большого числа.

13. sin -30° → опорный угол ___°; знак ___; точное значение ___.
14. cos -135° → опорный угол ___°; знак ___; точное значение ___.
15. tg -60° → опорный угол ___°; знак ___; точное значение ___.
16. sin 750° → опорный угол ___°; знак ___; точное значение ___.
17. cos 840° → опорный угол ___°; знак ___; точное значение ___.
18. tg 675° → опорный угол ___°; знак ___; точное значение ___.

Алгебраические преобразования при 0° < α < 90°

19. Выразите sin(180° − α) через функцию острого угла α без углов больше 90°.
20. Выразите cos(180° − α) через функцию острого угла α без углов больше 90°.
21. Выразите sin(180° + α) через функцию острого угла α без углов больше 90°.
22. Выразите cos(360° − α) через функцию острого угла α без углов больше 90°.
23. Выразите tg(180° − α) через функцию острого угла α без углов больше 90°.
24. Выразите sin(360° − α) через функцию острого угла α без углов больше 90°.

Как проверить себя и избежать типичных ошибок

Для каждого ответа выполните быструю проверку диапазона: синус и косинус всегда лежат между −1 и 1. Для тангенса используйте отношение sin/cos и убедитесь, что косинус не нулевой. Если ответ записан, например, как cos 30° со знаком «минус», оцените его знак мысленно: cos 150° действительно отрицателен. При переносе отрицательного угла учитывайте чётность cos(−α)=cos α и нечётность sin(−α)=−sin α.

Учителю: сначала проверьте столбец опорных углов, затем знаки, затем точные значения. Ошибка на первом шаге требует работы с окружностью; ошибка только в корне √3/2 или √2/2 — восстановления таблицы стандартных значений. Можно предложить устный взаимоконтроль по парам, после чего ученик выполняет блок Б индивидуально.

Разобранный переход: от чертежа к точному значению

Возьмём cos 210°. После удаления полного оборота угол не меняется: 210° уже находится в промежутке 0–360°. Отмечаем III четверть. Опорный угол равен 210°−180°=30°. Поскольку косинус в III четверти отрицателен, получаем cos 210°=−cos 30°=−√3/2. Ошибка «−1/2» возникает, если ученик неверно вспоминает значения стандартных углов: при 30° косинус √3/2, а синус 1/2.

Теперь рассмотрим tg 300°. Угол находится в IV четверти, опорный угол равен 360°−300°=60°. Тангенс отрицателен, а tg 60°=√3. Значит tg 300°=−√3. Эту запись можно проверить независимо: sin 300°=−√3/2, cos 300°=1/2 и их отношение равно −√3. Две взаимные проверки полезны там, где ученик ещё путает знаки тригонометрических функций.

Задание для самостоятельной коррекции

После первичной проверки занесите ошибки в три столбца: «неверная четверть», «верная четверть, неверный знак» и «неверное стандартное значение». Для первого столбца нарисуйте окружность и обозначьте точки 120°, 240°, 330°. Для второго сравните sin 120° с cos 120°, а также tg 135° с tg 315°. Для третьего восстановите по прямоугольному треугольнику значения для 30°, 45°, 60°. Это разные причины ошибки, поэтому исправлять их одним и тем же способом неэффективно.

Рассуждение с отрицательным углом тоже должно быть последовательным. Например, −135° соответствует 225°. Косинус во III четверти отрицателен, опорный угол равен 45° и итог — −√2/2. Можно иначе воспользоваться чётностью косинуса: cos(−135°)=cos 135°=−√2/2. Два метода дают один результат, и совпадение служит проверкой. В заданиях со многими оборотами заранее уберите 360°, иначе арифметика углов мешает пониманию сути.

Если ученик получает верный знак, но неверное значение, не засчитывайте весь пункт автоматически как неверно выполненный: отметьте, какая часть маршрута уже освоена. Для углов вне стандартного набора может требоваться только запись через острый угол, а не численное значение; в данном листе все углы подобраны так, чтобы точный ответ был доступен по школьной таблице. Особенность cot: котангенс равен cos/sin и при sin=0 не существует, даже если cos определён.

Проверка на типичных числах

При сравнении sin 120° и cos 120° в ответах оба опорных угла одинаковы: 60°. Но сами значения различаются не только знаком: sin120°=√3/2, cos120°=−1/2. Это показывает, что «приведение» включает два независимых шага — перевод к опорному углу и выбор нужной функции. Сначала можно проверять только первые две графы рабочей таблицы, а затем отдельно значения. Такой двухэтапный способ уменьшает случайные ошибки.

Для значений tg 135° и tg 315° результат одинаков: −1, хотя углы лежат в разных четвертях. У обоих опорный угол 45°, а знаки тангенса во II и IV четвертях отрицательны. На этом примере хорошо видно, почему нельзя считать номера четвертей заменой полноценного правила знаков. У каждого отношения есть собственное поведение.