Формулы суммы двух углов для синуса для 10 класса — упражнения с решениями

1. Найдите ошибку и объясните

На каждый пункт потратьте не больше трёх минут. Правильная формула должна быть записана полностью, включая знаки и оба произведения.

1. Ученик записал: sin(α + β) = sin α + sin β. Исправьте запись и объясните ошибку.
2. В работе написано: sin(30° + 60°) = sin 30° + sin 60°. Найдите точное значение и покажите правильный путь.
3. Ученик получил sin(α + β) = sin α cos β − cos α sin β. Какой знак нужен?
4. Проверяющий утверждает, что sin(60°+60°)=sin 120°=−√3/2. Исправьте знак и поясните.

2. Вычислительная дорожка

После вычисления удобно сверить результат с оценкой по единичной окружности. Например, синус 150° положителен, а синус 180° равен нулю; результат суммы может стать нулевым даже при ненулевых слагаемых.

5. Вычислите sin(30° + 45°) по формуле суммы и укажите четверть или координатную ось итогового угла.
6. Вычислите sin(45° + 60°) по формуле суммы и укажите четверть или координатную ось итогового угла.
7. Вычислите sin(60° + 30°) по формуле суммы и укажите четверть или координатную ось итогового угла.
8. Вычислите sin(90° + 30°) по формуле суммы и укажите четверть или координатную ось итогового угла.
9. Вычислите sin(45° + 45°) по формуле суммы и укажите четверть или координатную ось итогового угла.
10. Вычислите sin(60° + 60°) по формуле суммы и укажите четверть или координатную ось итогового угла.
11. Вычислите sin(120° + 30°) по формуле суммы и укажите четверть или координатную ось итогового угла.
12. Вычислите sin(150° + 15°) по формуле суммы и укажите четверть или координатную ось итогового угла.
13. Вычислите sin(135° + 45°) по формуле суммы и укажите четверть или координатную ось итогового угла.
14. Вычислите sin(30° + 150°) по формуле суммы и укажите четверть или координатную ось итогового угла.

3. Перенос формулы на углы, которые не заданы градусами

Для решения достаточно четырёх значений синуса и косинуса. Сам угол находить через обратные тригонометрические функции не требуется; при этом указание «острые» фиксирует знаки всех входных значений.

15. Оба угла острые. Дано sin α=3/5, cos α=4/5; sin β=5/13, cos β=12/13. Найдите sin(α+β) без определения самих углов.
16. Оба угла острые. Дано sin α=5/13, cos α=12/13; sin β=8/17, cos β=15/17. Найдите sin(α+β) без определения самих углов.
17. Оба угла острые. Дано sin α=7/25, cos α=24/25; sin β=3/5, cos β=4/5. Найдите sin(α+β) без определения самих углов.
18. Оба угла острые. Дано sin α=8/17, cos α=15/17; sin β=5/13, cos β=12/13. Найдите sin(α+β) без определения самих углов.
19. Оба угла острые. Дано sin α=20/29, cos α=21/29; sin β=3/5, cos β=4/5. Найдите sin(α+β) без определения самих углов.
20. Оба угла острые. Дано sin α=9/41, cos α=40/41; sin β=7/25, cos β=24/25. Найдите sin(α+β) без определения самих углов.

Для преподавателя полезно разделить ошибки по видам: неверный знак в формуле; перепутанный синус и косинус; арифметическая ошибка при сложении дробей; неправильная четверть. Повторное задание выбирают только по той операции, где возникло затруднение. Если формулы сложения углов в вашем календарном плане изучаются позже, используйте этот материал после соответствующего урока.

Два подробных образца оформления

Образец первый: вычислим sin(45°+60°). Записываем sin45°·cos60°+cos45°·sin60°. Подставляем табличные значения: (√2/2)(1/2)+(√2/2)(√3/2)=(√2+√6)/4. Проверка: 105° — угол II четверти, поэтому синус должен быть положительным; найденное значение положительно и меньше единицы. Если получилось √2+√6 без деления на 4, потерян общий знаменатель, а итог превышает 1, что невозможно.

Образец второй: известны sin α=3/5, cos α=4/5, sin β=5/13 и cos β=12/13. Углы острые. Тогда sin(α+β)=(3/5)(12/13)+(4/5)(5/13)=36/65+20/65=56/65. Нельзя сложить 3/5 и 5/13 вместо произведений: это другое выражение. Полезно отдельно проверить, что каждая пара значений согласуется с тождеством sin²+cos²=1: 9/25+16/25=1 и 25/169+144/169=1.

Обратите внимание на результат sin(135°+45°). Итоговый угол равен 180°, синус равен нулю. В разложении первое произведение положительное, второе отрицательное, поэтому они взаимно уничтожаются. Если просто сложить модули, получится лишний положительный результат. Это хороший контрольный вопрос на понимание знаков, особенно после стандартных примеров с острыми углами.

Особый пример для самопроверки: sin(90°+30°)=sin120°=√3/2. В формуле sin90°cos30°+cos90°sin30° второе произведение равно нулю, поэтому результат сразу читается как cos30°. Отдельно убедитесь, что знак положителен. Такой пример помогает проверить память: если ученик пишет две ненулевые части, значит неверно подставил cos90°.

Не забывайте, что формула синуса суммы работает и для углов II и III четвертей; однако для нестандартных углов нужно сначала определить знаки исходных sin и cos. После вычисления можно оценить результат грубо: sin90°=1, sin180°=0, и в II четверти значения синуса остаются положительными. Но это лишь проверка, не самостоятельное доказательство.