Учимся решать: формулы разности двух углов для косинуса — задания для 10 класса

Правило: cos(α − β) = cos α · cos β + sin α · sin β. Знак между произведениями именно «плюс». В отличие от cos(α + β), где стоит «минус», разность углов даёт сумму двух произведений.

Проверочная. Часть А — разбираемся в формуле

1. Какой знак стоит между произведениями в формуле cos(α − β)? Запишите её полностью.
2. Вычислите cos(α−0°), не зная α.
3. Объясните, почему cos(α−α)=1 для любого α.
4. Найдите ошибку: cos(60°−30°)=cos 60°−cos 30°.

Часть Б — вычисления с числами

В заданиях 5–10 не сокращайте промежуточные дроби преждевременно: сначала выпишите оба произведения. Это особенно важно при углах из II четверти, где косинус отрицателен.

5. Вычислите cos(75° − 30°) и укажите, где в решении используется знак «+».
6. Вычислите cos(90° − 60°) и укажите, где в решении используется знак «+».
7. Вычислите cos(120° − 30°) и укажите, где в решении используется знак «+».
8. Вычислите cos(150° − 60°) и укажите, где в решении используется знак «+».
9. Вычислите cos(135° − 45°) и укажите, где в решении используется знак «+».
10. Вычислите cos(180° − 60°) и укажите, где в решении используется знак «+».

Часть В — числовые параметры

В этой части углы искать не нужно. Используйте данные значения как координаты точек на единичной окружности и подставляйте в формулу.

11. Даны острые α, β: sin α=3/5, cos α=4/5; sin β=5/13, cos β=12/13. Вычислите cos(α−β).
12. Даны острые α, β: sin α=5/13, cos α=12/13; sin β=3/5, cos β=4/5. Вычислите cos(α−β).
13. Даны острые α, β: sin α=8/17, cos α=15/17; sin β=7/25, cos β=24/25. Вычислите cos(α−β).
14. Даны острые α, β: sin α=7/25, cos α=24/25; sin β=5/13, cos β=12/13. Вычислите cos(α−β).

Критерии оценивания

Всего 14 баллов: по одному за правильное решение каждого пункта. 12–14 баллов — уверенно; 9–11 — формула усвоена, но нужен контроль вычислений; 0–8 — повторите отличие cos(α−β) и cos(α+β). Если знак в формуле выбран верно, а допущена только арифметическая ошибка, учитель может отдельно отметить правильность метода.

Коррекция типичных пробелов

Перепутан знак: сравните cos(60°−30°) и cos(60°+30°). Перепутаны пары функций: выпишите таблицу sin и cos для обоих углов и подчеркните произведения одинаковых функций. Сложности с дробями: выполните отдельно два произведения и только затем сложите числители. Неуверенность с нестандартными углами: определите четверть результата, чтобы исключить невозможный знак.

Как исправить работу без переписывания всего листа

Если в пункте 4 использована неверная формула, сначала составьте рядом две строки: cos(α−β) = cosα cosβ + sinα sinβ и cos(α+β) = cosα cosβ − sinα sinβ. Подчеркните единственное различие. Затем проверьте обе формулы на α=β: первая обязана дать cos0°=1. Это не мнемоническая догадка, а надёжная проверка математическим тождеством.

Если пункт из части Б даёт число больше 1, вернитесь к промежуточным произведениям. Например, cos(90°−60°)=0·(1/2)+1·(√3/2)=√3/2. Если в записи пропал множитель cos90°=0, вероятность ошибки заметно выше. Для заданий с дробными исходными данными отдельно проверяйте sin²+cos²=1: корректные исходные значения можно воспринимать как координаты точки на единичной окружности.

Дополнительная проверка ответа: поменяйте α и β местами. Косинус чётен, поэтому cos(α−β)=cos(β−α). В развёрнутой формуле после обмена углов сумма произведений остаётся такой же. Если ваши два расчёта дали разные результаты, причиной обычно является потеря знака либо ошибка при умножении дробей.

Для внимательной проверки часть В можно решить в два столбца. В левом столбце запишите cosα·cosβ, в правом — sinα·sinβ. При острых углах оба произведения положительны, и итог должен быть положительным. Если хотя бы одно произведение отрицательно, проверьте исходные дроби и не перепутан ли знак между частями. Завершайте сложением дробей, а не десятичным округлением.