Рабочий лист: косинус двойного угла в заданиях на упрощение — математика, 10 класс

Станция 1. Выберите подходящее тождество

В заданиях с квадратами не раскрывайте скобки без нужды: произведение суммы и разности сразу даёт разность квадратов. В заданиях с единицей сначала подумайте, как выразить 1 через sin² x + cos² x.

1. Упростите cos² x − sin² x; если можно, выразите результат одной тригонометрической функцией или одним квадратом.
2. Упростите 1 − 2sin² x; если можно, выразите результат одной тригонометрической функцией или одним квадратом.
3. Упростите 2cos² x − 1; если можно, выразите результат одной тригонометрической функцией или одним квадратом.
4. Упростите (cos x − sin x)(cos x + sin x); если можно, выразите результат одной тригонометрической функцией или одним квадратом.
5. Упростите cos² x − (1 − cos² x); если можно, выразите результат одной тригонометрической функцией или одним квадратом.
6. Упростите (1 − sin² x) − sin² x; если можно, выразите результат одной тригонометрической функцией или одним квадратом.
7. Упростите 1 + cos 2x; если можно, выразите результат одной тригонометрической функцией или одним квадратом.
8. Упростите 1 − cos 2x; если можно, выразите результат одной тригонометрической функцией или одним квадратом.

Станция 2. Числовые данные без поиска угла

Вычислять второй тригонометрический показатель не нужно. Если известен синус, используйте 1−2sin² α; если косинус — 2cos² α−1. Это сокращает число действий и уменьшает риск потери знака.

9. Известно, что sin α = 3/5. Вычислите cos 2α, не определяя четверть и величину α.
10. Известно, что cos α = 5/13. Вычислите cos 2α, не определяя четверть и величину α.
11. Известно, что sin α = -8/17. Вычислите cos 2α, не определяя четверть и величину α.
12. Известно, что cos α = -12/13. Вычислите cos 2α, не определяя четверть и величину α.
13. Известно, что sin α = 7/25. Вычислите cos 2α, не определяя четверть и величину α.
14. Известно, что cos α = 4/5. Вычислите cos 2α, не определяя четверть и величину α.

Станция 3. Два способа — один ответ

Работайте в паре: первый ученик использует формулу с косинусом, второй — с синусом. Затем сравните результаты и укажите шаг, на котором применили основное тригонометрическое тождество.

15. Преобразуйте cos² t − sin² t и отдельно 1−2sin² t. Докажите, что получен один ответ.
16. Для α=30° вычислите cos 2α напрямую и через 2cos² α−1.
17. В выражении 4cos² x − 2 найдите общий множитель, затем упростите.
18. Упростите 3−6sin² x и проверьте вычисление при x=0°.

После самостоятельного выполнения ученик помечает буквой «С» ошибки выбора формулы, «В» — ошибки вычислений, «Т» — ошибки тождественного преобразования. На следующем уроке достаточно взять по одному упражнению соответствующего типа. Можно распечатать станции 1–2 для индивидуальной работы, а станцию 3 оставить для обсуждения способов.

Решение с комментарием: выбор самой короткой формулы

Если исходная запись содержит 1−2sin² x, то переход к cos 2x — один шаг. Не нужно сначала находить cos² x через квадратный корень: корень усложняет задачу и без сведений о четверти требует отдельного выбора знака. Если исходная запись 2cos² x−1, аналогично используйте косинусную форму напрямую. При выражении cos² x−sin² x удобнее не менять отдельные слагаемые, а сразу распознать формулу двойного угла.

В четвёртом задании использована разность квадратов: (cos x−sin x)(cos x+sin x)=cos² x−sin² x=cos2x. Из этого видно, почему нельзя получить 1: основное тождество содержит сумму квадратов, а не разность. Для шестого задания (1−sin² x)−sin² x=1−2sin² x=cos2x. У двух примеров разные исходные формы, но одна и та же идея сокращает вычисления.

Зачем сравнивать два метода

Возьмём cos 2α при sinα=3/5. Самый короткий путь: 1−2·9/25=7/25. Альтернативный путь: cos²α=1−9/25=16/25, затем cos2α=cos²α−sin²α=16/25−9/25=7/25. Оба пути точные и оба не требуют знать знак cosα. Этот момент особенно важен во II или III четверти: значение cosα может быть отрицательным, но cos²α всегда неотрицательно.

Ещё одна проверка при α=90°: sinα=1, поэтому cos2α=1−2·1=−1. Удвоенный угол действительно равен 180°, и его косинус −1. Если вы получили +1, значит перепутали 1−2sin²α с 2sin²α−1. Такие короткие проверки на 0° и 90° полезны при исправлении знака в преобразовании, хотя полноценное тождество подтверждают алгебраически.

При сравнении ответов полезно попросить одноклассника назвать не только окончательное выражение, но и использованную формулу. Например, 1+cos2x можно записать как 1+(2cos²x−1)=2cos²x. В другом варианте 1−cos2x = 1−(1−2sin²x)=2sin²x. Оба результата легко перепутать, если пропустить знак перед скобкой. Полный ход решения занимает две строки и экономит много времени на исправлениях.