Переход к новому основанию логарифма — задачи и ответы, 10 класс

Основная формула занятия: log_ab = log_cb / log_ca, где a, b, c положительны, a ≠ 1, c ≠ 1. Важно: в знаменателе стоит логарифм старого основания, а не аргумента. В рабочем листе даны две независимые серии по 11 заданий; ученики решают их по отдельности, затем обмениваются тетрадями. Все значения подобраны так, чтобы получить точную обыкновенную дробь или целое число.

Образец перехода: от неудобного основания к удобному

Вычислим log₈4. Здесь 8 = 2³, а 4 = 2². Поэтому log₈4 = log₂4 / log₂8 = 2/3. Проверка: 8^2/3 = (∛8)² = 4. Если случайно получить 3/2, это результат для log₄8, то есть для обратного отношения: аргумент и основание перепутаны.

Лист ученика А — первая серия

Запишите преобразование к указанному общему основанию и получите ответ. Не ограничивайтесь записью результата: при обмене карточками другой ученик должен понять, откуда взялись числитель и знаменатель. Время на серию — около 12 минут.

1. Вычислите log₁₆(8), перейдя к основанию 2. Ответ: __________.
2. Вычислите log₈(4), перейдя к основанию 2. Ответ: __________.
3. Вычислите log₉(27), перейдя к основанию 3. Ответ: __________.
4. Вычислите log₂₅(125), перейдя к основанию 5. Ответ: __________.
5. Вычислите log_1/4(8), перейдя к основанию 2. Ответ: __________.
6. Вычислите log₁₆(2), перейдя к основанию 2. Ответ: __________.
7. Вычислите log_1/8(4), перейдя к основанию 2. Ответ: __________.
8. Вычислите log₃(1/9), перейдя к основанию 3. Ответ: __________.
9. Вычислите log₂₇(81), перейдя к основанию 3. Ответ: __________.
10. Вычислите log₃₂(8), перейдя к основанию 2. Ответ: __________.
11. Вычислите log₉(1/27), перейдя к основанию 3. Ответ: __________.

Лист ученика Б — вторая независимая серия

В этой серии чаще встречаются основания меньше 1 и отрицательные значения логарифмов. Логарифм положительного числа может быть отрицательным. При самопроверке сначала определите знак результата, а затем сократите полученную обыкновенную дробь.

12. Вычислите log_1/9(3), перейдя к основанию 3. Ответ: __________.
13. Вычислите log_1/2(1/16), перейдя к основанию 2. Ответ: __________.
14. Вычислите log₁₀₀(10), перейдя к основанию 10. Ответ: __________.
15. Вычислите log_1/100(100), перейдя к основанию 10. Ответ: __________.
16. Вычислите log₁₂₅(25), перейдя к основанию 5. Ответ: __________.
17. Вычислите log₄₉(343), перейдя к основанию 7. Ответ: __________.
18. Вычислите log₄(1/32), перейдя к основанию 2. Ответ: __________.
19. Вычислите log_1/25(5), перейдя к основанию 5. Ответ: __________.
20. Вычислите log₆₄(16), перейдя к основанию 2. Ответ: __________.
21. Вычислите log₁₆(64), перейдя к основанию 2. Ответ: __________.
22. Вычислите log₉(3), перейдя к основанию 3. Ответ: __________.

Обмен решениями: по каким признакам оценивать

Партнёр проверяет три элемента: выбранное новое основание, порядок дроби и сокращение результата. Запишите короткий комментарий к двум типичным ошибкам: 1) ученик поменял местами log_cb и log_ca; 2) ученик отбросил минус при log₂(1/8) = −3. Затем возвратите лист владельцу для самостоятельной корректировки.

Ответы учителю: расчёт к обеим сериям

1. 3/4. По формуле перехода log₁₆(8) = log₂(8) / log₂(16) = (3)/(4) = 3/4. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
2. 2/3. По формуле перехода log₈(4) = log₂(4) / log₂(8) = (2)/(3) = 2/3. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
3. 3/2. По формуле перехода log₉(27) = log₃(27) / log₃(9) = (3)/(2) = 3/2. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
4. 3/2. По формуле перехода log₂₅(125) = log₅(125) / log₅(25) = (3)/(2) = 3/2. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
5. -3/2. По формуле перехода log_1/4(8) = log₂(8) / log₂(1/4) = (3)/(-2) = -3/2. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
6. 1/4. По формуле перехода log₁₆(2) = log₂(2) / log₂(16) = (1)/(4) = 1/4. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
7. -2/3. По формуле перехода log_1/8(4) = log₂(4) / log₂(1/8) = (2)/(-3) = -2/3. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
8. -2. По формуле перехода log₃(1/9) = log₃(1/9) / log₃(3) = (-2)/(1) = -2. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
9. 4/3. По формуле перехода log₂₇(81) = log₃(81) / log₃(27) = (4)/(3) = 4/3. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
10. 3/5. По формуле перехода log₃₂(8) = log₂(8) / log₂(32) = (3)/(5) = 3/5. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
11. -3/2. По формуле перехода log₉(1/27) = log₃(1/27) / log₃(9) = (-3)/(2) = -3/2. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
12. -1/2. По формуле перехода log_1/9(3) = log₃(3) / log₃(1/9) = (1)/(-2) = -1/2. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
13. 4. По формуле перехода log_1/2(1/16) = log₂(1/16) / log₂(1/2) = (-4)/(-1) = 4. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
14. 1/2. По формуле перехода log₁₀₀(10) = log₁₀(10) / log₁₀(100) = (1)/(2) = 1/2. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
15. -1. По формуле перехода log_1/100(100) = log₁₀(100) / log₁₀(1/100) = (2)/(-2) = -1. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
16. 2/3. По формуле перехода log₁₂₅(25) = log₅(25) / log₅(125) = (2)/(3) = 2/3. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
17. 3/2. По формуле перехода log₄₉(343) = log₇(343) / log₇(49) = (3)/(2) = 3/2. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
18. -5/2. По формуле перехода log₄(1/32) = log₂(1/32) / log₂(4) = (-5)/(2) = -5/2. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
19. -1/2. По формуле перехода log_1/25(5) = log₅(5) / log₅(1/25) = (1)/(-2) = -1/2. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
20. 2/3. По формуле перехода log₆₄(16) = log₂(16) / log₂(64) = (4)/(6) = 2/3. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
21. 3/2. По формуле перехода log₁₆(64) = log₂(64) / log₂(16) = (6)/(4) = 3/2. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.
22. 1/2. По формуле перехода log₉(3) = log₃(3) / log₃(9) = (1)/(2) = 1/2. Оба аргумента положительны, а новое основание допустимо.

Контроль понимания: почему log₄8·log₈4 = 1? По переходу к основанию 2 первый множитель равен 3/2, второй — 2/3. Получается 1. Этот факт можно применять как дополнительную проверку для пары взаимно обратных логарифмов. Но если совпали основания и аргументы с единицей, необходимо снова проверить область определения.

Оценивание: 11 баллов за верные вычисления в своей серии, ещё до 3 баллов за безошибочное объяснение метода партнёру. При явной ошибке в порядке числителя и знаменателя полезно предложить сначала вычислить log₂8 = 3 и log₂4 = 2, а только затем записать частное. В программах, где формула перехода к новому основанию изучается позже, лист можно использовать после соответствующего урока.