Проверь себя: область определения логарифмического выражения — математика, 10 класс

Чтобы найти область определения логарифма log_af(x), сначала проверяют f(x) > 0. Если основание зависит от x, добавляют ещё два условия: a(x) > 0 и a(x) ≠ 1. Ошибка в одном строгом знаке иногда полностью меняет ответ: log₂(x − 3) не существует при x = 3, хотя выражение под логарифмом тогда равно нулю.

Быстрый старт: четыре типичные формы

Проверьте правила самостоятельно: при делении нуль в знаменателе исключается автоматически, а для логарифма ноль в аргументе недопустим даже тогда, когда деления нет. Для произведения и дроби используйте числовую прямую и метод интервалов; не делите неравенство на выражение неизвестного знака.

Практика: 18 заданий по возрастанию сложности

Решите № 1–8 самостоятельно. Затем проверьте граничные точки подстановкой — каждое равенство подлогарифмического выражения нулю нужно исключить. № 9–11 требуют метода интервалов, а № 12–18 — учёта переменного основания либо особых случаев. Ответ записывайте как неравенство, объединение промежутков или множество действительных чисел.

1. Найдите ОДЗ выражения log₂(x − 3). Ответ: __________.
2. Найдите ОДЗ выражения log₅(2x + 6). Ответ: __________.
3. Найдите ОДЗ выражения log₃(7 − x). Ответ: __________.
4. Найдите ОДЗ выражения log₇(x² − 9). Ответ: __________.
5. Найдите ОДЗ выражения log₂(x(x − 5)). Ответ: __________.
6. Найдите ОДЗ выражения log₁₀((x − 1)(x − 4)). Ответ: __________.
7. Найдите ОДЗ выражения log₃(5 − 2x). Ответ: __________.
8. Найдите ОДЗ выражения log_1/2(x + 8). Ответ: __________.

Повышенный уровень: несколько границ и переменные основания

9. Найдите ОДЗ выражения log₄(9 − (x − 2)²). Ответ: __________.
10. Найдите ОДЗ выражения log₂((x + 2)/(x − 3)). Ответ: __________.
11. Найдите ОДЗ выражения log₃((x − 4)/(x + 1)). Ответ: __________.
12. Найдите ОДЗ выражения log_x(9). Ответ: __________.
13. Найдите ОДЗ выражения log_{x − 1}(3). Ответ: __________.
14. Найдите ОДЗ выражения log_2x(4). Ответ: __________.
15. Найдите ОДЗ выражения log_{3 − x}(x + 1). Ответ: __________.
16. Найдите ОДЗ выражения log₂(x² + 1). Ответ: __________.
17. Найдите ОДЗ выражения log₂((x − 3)²). Ответ: __________.
18. Найдите ОДЗ выражения log_{x + 3}(2 − x). Ответ: __________.

Ключ: условия существования и ответы

1. x > 3. Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Получаем x > 3.
2. x > −3. Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Получаем x > −3.
3. x < 7. Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Получаем x < 7.
4. x < −3 или x > 3. Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Получаем x < −3 или x > 3.
5. x < 0 или x > 5. Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Получаем x < 0 или x > 5.
6. x < 1 или x > 4. Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Получаем x < 1 или x > 4.
7. x < 5/2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Получаем x < 5/2.
8. x > −8. Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Получаем x > −8.
9. −1 < x < 5. Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Получаем −1 < x < 5.
10. x < −2 или x > 3. Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Получаем x < −2 или x > 3. Для найденного множества обе части дроби имеют одинаковый знак.
11. x < −1 или x > 4. Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Получаем x < −1 или x > 4. Для найденного множества обе части дроби имеют одинаковый знак.
12. x > 0 и x ≠ 1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным; дополнительно основание должно быть положительным и не равно единице. Получаем x > 0 и x ≠ 1.
13. x > 1 и x ≠ 2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным; дополнительно основание должно быть положительным и не равно единице. Получаем x > 1 и x ≠ 2.
14. x > 0 и x ≠ 1/2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным; дополнительно основание должно быть положительным и не равно единице. Получаем x > 0 и x ≠ 1/2.
15. −1 < x < 3 и x ≠ 2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным; дополнительно основание должно быть положительным и не равно единице. Получаем −1 < x < 3 и x ≠ 2.
16. все действительные числа. Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Получаем все действительные числа.
17. x ≠ 3. Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Получаем x ≠ 3.
18. −3 < x < 2 и x ≠ −2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным; дополнительно основание должно быть положительным и не равно единице. Получаем −3 < x < 2 и x ≠ −2.

Пример полной проверки № 15: аргумент x + 1 > 0 требует x > −1. Основание 3 − x > 0 требует x < 3, а 3 − x ≠ 1 исключает x = 2. Пересечение условий даёт −1 < x < 3, x ≠ 2. Эта запись объясняет, почему нельзя рассматривать только аргумент логарифма.

При самостоятельной проверке выберите по одной пробной точке внутри и вне найденного промежутка. Например, для log₂(x² − 9) подстановка x = 0 даёт отрицательный аргумент, а x = 4 — положительный. Для проверочной работы можно дать один балл за каждую верную ОДЗ и дополнительно один балл за верное объяснение переменного основания в заданиях 12–15 и 18. Если программа класса ещё не включает метод интервалов, № 9–11 оставьте на дополнительное занятие.