Карточка с объяснениями: график логарифмической функции и её свойства — 10 класс

График y = log_ax строят только при a > 0 и a ≠ 1. Он проходит через точку (1; 0) и имеет вертикальную асимптоту x = 0, причём область определения — x > 0. Если a > 1, функция возрастает; если 0 < a < 1 — убывает. Эти три свойства позволяют решать большинство заданий без построения большого графика и без калькулятора.

От конкретной таблицы к форме графика

Для основания 2 возьмите пять значений x. Каждое увеличение x вдвое повышает логарифм на 1. Для основания 1/2 те же точки дают значения противоположного знака. Так можно представить два графика без рисунка: оба проходят через (1; 0), но первый идёт снизу слева вверх направо, а второй — сверху слева вниз направо.

При приближении x к нулю справа график log₂x неограниченно опускается, а log_1/2x неограниченно поднимается. Точки с x ≤ 0 в область определения не входят. Проверьте себя: сравните значения в таблице для 1/2 и 2 — перемена знака подтверждает различие в монотонности.

Алгоритм чтения и простого сдвига

Если функция записана как y = log_a(x − h) + k, то сначала требуйте x − h > 0, после чего найдите вертикальную асимптоту x = h. Затем возьмите удобную базовую точку с аргументом 1: её координаты (h + 1; k). Например, график y = log₂(x − 3) проходит через (4; 0) и существует только справа от x = 3. Добавка +2 после логарифма поднимает график на две единицы; изменение внутри скобок сдвигает его вдоль оси x.

Тренировка по свойствам — 8 коротких вопросов

1. Укажите область определения функции y = log₂x. Ответ: __________.
2. Найдите нуль функции y = log₂x. Ответ: __________.
3. Найдите значение y = log₂x при x = 8. Ответ: __________.
4. Найдите x, если log₂x = −2. Ответ: __________.
5. Возрастает или убывает y = log_1/3x? Ответ: __________.
6. Сравните log₂3 и log₂5. Ответ: __________.
7. Сравните log_1/23 и log_1/25. Ответ: __________.
8. Укажите вертикальную асимптоту y = log₅x. Ответ: __________.

Практика: сдвиги, нули и монотонность

Остальные 11 пунктов требуют применить алгоритм к изменённому графику, сравнить значения и определить множество x, на котором функция расположена над осью. Не рисуйте по одной случайной точке: обязательно отметьте асимптоту, область определения и характер изменения функции.

9. Найдите область определения y = log₂(x − 3). Ответ: __________.
10. Где график y = log₂(x − 3) пересекает ось Ox? Ответ: __________.
11. Найдите нуль y = log₂x + 2. Ответ: __________.
12. Найдите нуль y = log₃(x + 2). Ответ: __________.
13. На графике y = log_1/2x найдите точку с ординатой −3. Ответ: __________.
14. Как ведёт себя y = log₂(x − 1) и где определена? Ответ: __________.
15. Как ведёт себя y = log_1/3(x + 4) и где определена? Ответ: __________.
16. При каких x график y = log₂x расположен не ниже оси Ox? Ответ: __________.
17. При каких x график y = log_1/2x расположен не ниже оси Ox? Ответ: __________.
18. Какая функция является отражением y = log₂x относительно оси Ox? Ответ: __________.
19. Для y = log₂(x − 2) + 1 укажите ОДЗ, вертикальную асимптоту и нуль. Ответ: __________.

Ответы с объяснением

1. x > 0. Подлогарифмическое выражение x строго положительно.
2. x = 1. log₂1 = 0, так как 2⁰ = 1.
3. y = 3. 2³ = 8.
4. x = 1/4. 2⁻² = 1/4.
5. убывает. Основание положительно и меньше единицы.
6. log₂3 < log₂5. При основании 2 функция возрастает; 3 < 5.
7. log₁⁄₂3 > log₁⁄₂5. При основании 1/2 функция убывает, поэтому знак сравнения обратный.
8. x = 0. График приближается к оси Oy, но не пересекает её.
9. x > 3. Нужно x − 3 > 0.
10. x = 4. При y = 0 аргумент равен 1: x − 3 = 1.
11. x = 1/4. log₂x = −2, отсюда x = 2⁻².
12. x = −1. x + 2 = 1 при логарифме, равном нулю.
13. (8; −3). При y = −3 получаем x = (1/2)⁻³ = 8.
14. возрастает при x > 1. Сдвиг вправо не меняет возрастания при основании 2.
15. убывает при x > −4. Сдвиг влево не меняет убывания при основании 1/3.
16. x ≥ 1. При основании 2 условие y ≥ 0 равносильно x ≥ 1.
17. 0 < x ≤ 1. Функция убывает и равна нулю при x = 1.
18. y = −log₂x = log₁⁄₂x. Поскольку log₁⁄₂x = −log₂x, отражение даёт новое основание 1/2.
19. x > 2; асимптота x = 2; нуль x = 5/2. При y=0 получаем log₂(x−2)=−1, поэтому x−2=1/2.

Проверка результата на графике

Любой найденный нуль можно проверить подстановкой: например, log₃(−1 + 2) = log₃1 = 0. Для ответа «возрастает» сравните две допустимые точки; при a > 1 более крупный аргумент всегда даёт большее значение. При a < 1 — наоборот. Неравенства y ≥ 0 проверяйте по точке пересечения с осью Ox, а не по случайно запомненному направлению ветви.

Учителю и родителю: задания 1–8 удобны для фронтального устного опроса, 9–19 — для индивидуальной письменной работы. За каждый пункт с двумя характеристиками дайте балл за каждую; при ошибке в области определения обязательно вернитесь к условию положительности подлогарифмического выражения. По программам РФ и Казахстана углублённые преобразования графиков могут изучаться позднее: задания 14–19 можно оставить для закрепления после соответствующего раздела.