Производная степени x в натуральном показателе для 11 класса — упражнения с решениями

11 класс · производная степени · 16 заданий. Работу можно провести за 20–25 минут: сначала краткая диагностика, затем две серии и проверка двух неверных рассуждений. Применяется правило для натурального n: (xn)′ = n·xn−1. Если перед степенью есть постоянный коэффициент, он сохраняется как множитель производной. Производную x, то есть x1, принимаем равной 1.

Содержание статьи5 разделов

Быстрая проверка исходных знаний

Не раскрывая ключ, ответьте: что произойдёт с показателем, на какое число нужно умножить и что получится при n = 1? Впишите производную и подчеркните изменившуюся степень. Каждое выражение содержит только одну степень, поэтому пока не нужны правила суммы или произведения функций.

  1. Найдите производную f(x) = x2. Ответ: __________________.
  2. Найдите производную f(x) = x7. Ответ: __________________.
  3. Найдите производную f(x) = x. Ответ: __________________.
  4. Найдите производную f(x) = x9. Ответ: __________________.

Карточка А: коэффициент перед степенью

На каждом шаге работайте по трём вопросам: какое число стоит перед степенью, какова степень x, каким становится показатель после дифференцирования? Особое внимание уделите минусу: производная отрицательного одночлена также может быть отрицательной. Сначала запишите результат в общем виде, затем при желании упростите коэффициент.

  1. Вычислите ( 3·x5 )′. Место для вычисления: ____________________.
  2. Вычислите ( −2·x8 )′. Место для вычисления: ____________________.
  3. Вычислите ( 1/2·x4 )′. Место для вычисления: ____________________.
  4. Вычислите ( 5·x2 )′. Место для вычисления: ____________________.
  5. Вычислите ( −x6 )′. Место для вычисления: ____________________.
  6. Вычислите ( 7·x3 )′. Место для вычисления: ____________________.

Карточка Б: значение производной в точке

Здесь производная сначала становится формулой, а затем числом. Не подставляйте заданное x до дифференцирования: сначала найдите f′(x), только после этого вычисляйте f′(a). Для отрицательного a учитывайте чётность степени. Можно проверить себя приближённо, сравнив изменения функции при очень маленьком шаге, но это лишь дополнительная проверка, а не замена правилу.

  1. Для f(x) = x3 найдите сначала f′(x), затем f′(2).
  2. Для f(x) = x4 найдите сначала f′(x), затем f′(-1).
  3. Для f(x) = 2·x5 найдите сначала f′(x), затем f′(1).
  4. Для f(x) = −3·x2 найдите сначала f′(x), затем f′(-2).

Две ошибки, которые удобно обнаружить устно

Прочитайте предложенное решение, не переписывая его автоматически. Исправьте лишь неверное правило, приведите собственную верную запись и объясните, почему показатель степени обязательно уменьшается на единицу. Эта серия проверяет понимание, а не скорость.

  1. Ученик написал: (x4)′ = 4x4. Найдите ошибку и исправьте равенство.
  2. Ученик написал: (−2x3)′ = −6x3. Исправьте показатель при x.

Для самостоятельной проверки используйте три коротких теста: производная x равна 1; степень любого многочлена, состоящего из одного одночлена xn, снижается на один; числовой множитель не исчезает. Если получился ответ со степенью выше исходной, проверьте запись ещё раз.

Лист учителя: ответы с пояснениями

  1. f′(x) = 2·x: показатель 2 становится множителем, новая степень равна 1.
  2. f′(x) = 7·x6: показатель 7 становится множителем, новая степень равна 6.
  3. f′(x) = 1: показатель 1 становится множителем, новая степень равна 0.
  4. f′(x) = 9·x8: показатель 9 становится множителем, новая степень равна 8.
  5. 15·x4; проверка: 3 · 5 · x4 = 15·x4.
  6. −16·x7; проверка: -2 · 8 · x7 = −16·x7.
  7. 2·x3; проверка: 1/2 · 4 · x3 = 2·x3.
  8. 10·x; проверка: 5 · 2 · x1 = 10·x.
  9. −6·x5; проверка: -1 · 6 · x5 = −6·x5.
  10. 21·x2; проверка: 7 · 3 · x2 = 21·x2.
  11. f′(x) = 3·x2; f′(2) = 12. Подстановка выполняется в производную, а не в исходную функцию.
  12. f′(x) = 4·x3; f′(-1) = -4. Подстановка выполняется в производную, а не в исходную функцию.
  13. f′(x) = 10·x4; f′(1) = 10. Подстановка выполняется в производную, а не в исходную функцию.
  14. f′(x) = −6·x; f′(-2) = 12. Подстановка выполняется в производную, а не в исходную функцию.
  15. Верно: (x4)′ = 4x3; показатель уменьшается на единицу.
  16. Верно: (−2x3)′ = −6x2; минус сохраняется, 3·(−2) = −6.

Критерий: по одному баллу за верную производную в № 1–10, по два балла за формулу и подстановку в № 11–14 и по два балла за исправление и объяснение в № 15–16. Максимум 22 балла. Для повторной тренировки сначала разберите ошибки в показателе, затем снова решите без подсказки 2–3 пункта нужного типа.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым