Учимся решать: производная суммы и разности функций — задания для 11 класса

Учимся решать · 11 класс · 24 задания. Цель — находить производную суммы и разности, не подменяя эту операцию производной произведения. Удобный план: обозначить слагаемые u(x), v(x), отдельно получить u′ и v′, затем сложить либо вычесть результаты. Если перед скобкой стоит минус, он относится ко всем членам скобки. Все задания используют многочлены и выполняются без калькулятора.

Содержание статьи5 разделов

Короткое правило и два разобранных примера

Если f = u + v, то f′ = u′ + v′. Если f = u − v, то f′ = u′ − v′. Производная константы равна нулю. Ошибка «производная суммы равна произведению производных» неверна уже на f = x + x: настоящая производная равна 2, тогда как произведение 1·1 дало бы 1.

Пример 1. f(x) = (3x4 + 2x) + (x3 − 5). По частям получаем (12x3 + 2) + 3x2 = 12x3 + 3x2 + 2. Нулевую производную константы −5 не надо записывать отдельным членом.

Пример 2. g(x) = (4x3 − 2x) − (x2 − 7x + 3). После дифференцирования имеем (12x2 − 2) − (2x − 7) = 12x2 − 2x + 5. Именно знак минус перед второй скобкой превращает −7 в +7.

Тренажёр 1: складываем производные

Для каждого номера найдите f′(x). Первые восемь упражнений учат разбивать выражение на две функции. Отмечайте галочкой каждый полученный производный член; так легче не потерять слагаемое с x или константу.

  1. Найдите производную суммы: f(x) = (2·x3 + 3·x) + (4·x2 + 5).
  2. Найдите производную суммы: f(x) = (x5 − 2·x2) + (3·x3 + 7).
  3. Найдите производную суммы: f(x) = (4·x4 + x) + (2·x2 − 6).
  4. Найдите производную суммы: f(x) = (−3·x3 + 2·x) + (x2 + 9).
  5. Найдите производную суммы: f(x) = (6·x2 − 4) + (x3 + x).
  6. Найдите производную суммы: f(x) = (x6 + 2·x2) + (−x4 + 8·x).
  7. Найдите производную суммы: f(x) = (5·x3 − 7·x) + (2·x3 + 3·x).
  8. Найдите производную суммы: f(x) = (x4 − 2·x + 1) + (3·x2 + 4·x − 8).

Тренажёр 2: вычитаем производные, соблюдаем знаки

Знак перед второй группой — отдельная часть задания. До упрощения обязательно запишите его рядом с производной второй функции. После объединения подобных членов проверьте результат ещё одним способом: сначала раскройте скобки у исходной функции, затем найдите производную полученного многочлена. Оба способа должны привести к одному выражению.

  1. Найдите f′(x), если f(x) = (x4 + 3·x2) − (x3 − 2·x).
  2. Найдите f′(x), если f(x) = (4·x3 − 5) − (x2 + 3·x).
  3. Найдите f′(x), если f(x) = (3·x5 + x) − (2·x4 − 6·x).
  4. Найдите f′(x), если f(x) = (x3 − 2·x2) − (4·x − 9).
  5. Найдите f′(x), если f(x) = (5·x4 + 7·x) − (x4 − 3·x2).
  6. Найдите f′(x), если f(x) = (2·x6 + x2) − (x5 + 2·x).
  7. Найдите f′(x), если f(x) = (x3 + x2) − (−2·x2 + 4·x).
  8. Найдите f′(x), если f(x) = (7·x2 − 3·x) − (4·x2 − 8·x + 5).

Тренажёр 3: значение суммы производных в точке

Следующие восемь пунктов совмещают две операции: дифференцирование и подстановку. Сначала запишите производную полностью, затем вычислите её значение. Отдельно отметьте члены, которые стали нулём. Нельзя складывать значения исходных функций вместо значений их производных: это разные величины.

  1. f(x) = (x3 + 2·x) + (x2 − 3). Найдите f′(1); покажите промежуточную формулу f′(x).
  2. f(x) = (3·x4 − x) − (2·x2 + 1). Найдите f′(-1); покажите промежуточную формулу f′(x).
  3. f(x) = (x5 + 4·x) + (−x3 + 2). Найдите f′(0); покажите промежуточную формулу f′(x).
  4. f(x) = (2·x3 + x2) − (3·x + 5). Найдите f′(2); покажите промежуточную формулу f′(x).
  5. f(x) = (x4 − 2·x2) + (x3 + 3·x). Найдите f′(-2); покажите промежуточную формулу f′(x).
  6. f(x) = (5·x3 − x) − (x2 − 2·x). Найдите f′(1); покажите промежуточную формулу f′(x).
  7. f(x) = (x3 + 7·x) + (4·x2 − 2). Найдите f′(-1); покажите промежуточную формулу f′(x).
  8. f(x) = (3·x4 + x2) − (2·x3 − 5·x). Найдите f′(0); покажите промежуточную формулу f′(x).

Оценивайте не только итоговый ответ. За каждый номер можно поставить 1 балл за верное применение правила и 1 балл за корректное упрощение или подстановку. Особую пользу приносит самопроверка альтернативным способом: сначала объединить многочлены и лишь затем продифференцировать. Если оба пути расходятся, чаще всего потерян минус или константа. Ученик, которому трудно раскрывать скобки, может сначала решать № 1–8, а потом перейти к № 9–16.

Ответы учителю по трём сериям

  1. 6·x2 + 3 + (8·x) = 6·x2 + 8·x + 3.
  2. 5·x4 − 4·x + (9·x2) = 5·x4 + 9·x2 − 4·x.
  3. 16·x3 + 1 + (4·x) = 16·x3 + 4·x + 1.
  4. −9·x2 + 2 + (2·x) = −9·x2 + 2·x + 2.
  5. 12·x + (3·x2 + 1) = 3·x2 + 12·x + 1.
  6. 6·x5 + 4·x + (−4·x3 + 8) = 6·x5 − 4·x3 + 4·x + 8.
  7. 15·x2 − 7 + (6·x2 + 3) = 21·x2 − 4.
  8. 4·x3 − 2 + (6·x + 4) = 4·x3 + 6·x + 2.
  9. (4·x3 + 6·x) − (3·x2 − 2) = 4·x3 − 3·x2 + 6·x + 2.
  10. (12·x2) − (2·x + 3) = 12·x2 − 2·x − 3.
  11. (15·x4 + 1) − (8·x3 − 6) = 15·x4 − 8·x3 + 7.
  12. (3·x2 − 4·x) − (4) = 3·x2 − 4·x − 4.
  13. (20·x3 + 7) − (4·x3 − 6·x) = 16·x3 + 6·x + 7.
  14. (12·x5 + 2·x) − (5·x4 + 2) = 12·x5 − 5·x4 + 2·x − 2.
  15. (3·x2 + 2·x) − (−4·x + 4) = 3·x2 + 6·x − 4.
  16. (14·x − 3) − (8·x − 8) = 6·x + 5.
  17. f′(x) = 3·x2 + 2·x + 2; f′(1) = 7.
  18. f′(x) = 12·x3 − 4·x − 1; f′(-1) = -9.
  19. f′(x) = 5·x4 − 3·x2 + 4; f′(0) = 4.
  20. f′(x) = 6·x2 + 2·x − 3; f′(2) = 25.
  21. f′(x) = 4·x3 + 3·x2 − 4·x + 3; f′(-2) = -9.
  22. f′(x) = 15·x2 − 2·x + 1; f′(1) = 14.
  23. f′(x) = 3·x2 + 8·x + 7; f′(-1) = 2.
  24. f′(x) = 12·x3 − 6·x2 + 2·x + 5; f′(0) = 5.

Ключ можно использовать по сериям: первые восемь номеров проверяют сложение производных, следующие восемь — вычитание, последняя группа — вычисление в точке. Критическая ошибка — отсутствие скобок после минуса; исправляйте её в исходной записи, а не «подгоняйте» результат.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым