Производная произведения двух функций — мини-тест с разбором для 11 класса

Мини-тест с разбором · 11 класс · 20 заданий. Проверяем правило производной произведения двух функций. Две функции обозначаем u и v. Умножить их производные недостаточно: правильная формула (uv)′ = u′v + uv′. Геометрическая подсказка: если стороны прямоугольника немного увеличились, прирост площади связан с изменением каждой стороны, а не только с их произведением. Для всех пунктов требуется применять именно правило произведения, даже если результат можно получить раскрытием скобок.

Содержание статьи5 разделов

Схема из двух слагаемых

Исходное выражение Первое слагаемое Второе слагаемое
f = u·v u′·v u·v′
f′ сохранить v сохранить u

Например, f(x) = x2(x + 3). Тогда u = x2, v = x + 3; u′ = 2x, v′ = 1. Получаем f′(x) = 2x(x + 3) + x2 = 3x2 + 6x. Проверка раскрытием скобок: f(x) = x3 + 3x2, значит производная та же.

Исследовательский мини-тест: найдите обе части правила

Проводите вычисление в два этапа: прямо под выражением отдельно запишите u′v и uv′. Когда они сложены, можете раскрыть скобки и собрать подобные слагаемые. Для № 1–12 достаточно окончательной формулы f′(x).

  1. Найдите производную f(x) = (x)·(x + 2).
  2. Найдите производную f(x) = (x2)·(x + 1).
  3. Найдите производную f(x) = (2·x)·(x2 − 1).
  4. Найдите производную f(x) = (x3)·(x + 3).
  5. Найдите производную f(x) = (x2 + 1)·(x − 2).
  6. Найдите производную f(x) = (3·x2)·(x2 + 2).
  7. Найдите производную f(x) = (x2 + x)·(x + 4).
  8. Найдите производную f(x) = (x2 − 3·x)·(x2 + 1).
  9. Найдите производную f(x) = (2·x + 1)·(3·x − 2).
  10. Найдите производную f(x) = (x3 + 1)·(x2 − 1).
  11. Найдите производную f(x) = (x2 + 2·x)·(x2 − x).
  12. Найдите производную f(x) = (3·x2 − 1)·(2·x2 + 5).

Умение видеть ложные решения

В каждом пункте назван неверный ход. Сформулируйте, что в нём пропущено, а затем напишите верный ответ. Здесь нельзя ограничиться фразой «неправильно»: восстановите оба слагаемых производной произведения.

  1. Для f(x) = x(x + 4) записано f′(x) = 1·1 = 1. Назовите ошибку и найдите верную производную.
  2. Для f(x) = x²(x − 2) записано f′(x) = 2x(x − 2). Назовите ошибку и найдите верную производную.
  3. Для f(x) = (x + 1)(x − 1) записано f′(x) = (x − 1) − (x + 1). Назовите ошибку и найдите верную производную.
  4. Для f(x) = x³(2x + 1) записано f′(x) = 3x²(2x + 1) + x³. Назовите ошибку и найдите верную производную.

Контроль результата в заданной точке

Для последних четырёх номеров достаточно сначала найти полную производную, затем значение в точке. Если вы уже раскрыли скобки, сравните результат с формулой произведения — это две независимые процедуры проверки. Значение производной может быть отрицательным или равным нулю.

  1. f(x) = (x + 2)(x2 + 1). Найдите f′(0) с промежуточной формулой.
  2. f(x) = (x2 − 1)(x + 3). Найдите f′(2) с промежуточной формулой.
  3. f(x) = (x3 + 1)(2·x − 1). Найдите f′(-1) с промежуточной формулой.
  4. f(x) = (2·x2 + x)(x2 + 2). Найдите f′(1) с промежуточной формулой.

Критерии самопроверки: оба слагаемых присутствуют — 1 балл; правильные производные множителей — 1 балл; упрощение и арифметика — ещё 1 балл. В разобранных ошибках полезно дать ученику возможность сначала назвать причину, а уже потом свериться с исправлением. Если ученик всё время пишет u′v′, вернитесь к примеру x·x: производная x² равна 2x, а u′v′ дала бы 1.

Полный ключ мини-теста и исправления

  1. По правилу произведения: (1)·(x + 2) + (x)·(1) = 2·x + 2.
  2. По правилу произведения: (2·x)·(x + 1) + (x2)·(1) = 3·x2 + 2·x.
  3. По правилу произведения: (2)·(x2 − 1) + (2·x)·(2·x) = 6·x2 − 2.
  4. По правилу произведения: (3·x2)·(x + 3) + (x3)·(1) = 4·x3 + 9·x2.
  5. По правилу произведения: (2·x)·(x − 2) + (x2 + 1)·(1) = 3·x2 − 4·x + 1.
  6. По правилу произведения: (6·x)·(x2 + 2) + (3·x2)·(2·x) = 12·x3 + 12·x.
  7. По правилу произведения: (2·x + 1)·(x + 4) + (x2 + x)·(1) = 3·x2 + 10·x + 4.
  8. По правилу произведения: (2·x − 3)·(x2 + 1) + (x2 − 3·x)·(2·x) = 4·x3 − 9·x2 + 2·x − 3.
  9. По правилу произведения: (2)·(3·x − 2) + (2·x + 1)·(3) = 12·x − 1.
  10. По правилу произведения: (3·x2)·(x2 − 1) + (x3 + 1)·(2·x) = 5·x4 − 3·x2 + 2·x.
  11. По правилу произведения: (2·x + 2)·(x2 − x) + (x2 + 2·x)·(2·x − 1) = 4·x3 + 3·x2 − 4·x.
  12. По правилу произведения: (6·x)·(2·x2 + 5) + (3·x2 − 1)·(4·x) = 24·x3 + 26·x.
  13. Производные перемножены вместо применения u′v + uv′. Верно: f′(x) = 2·x + 4.
  14. Пропущено слагаемое x²·1. Верно: f′(x) = 3·x2 − 4·x.
  15. Во втором слагаемом знак должен быть плюсом. Верно: f′(x) = 2·x.
  16. Производная 2x + 1 равна 2, не 1. Верно: f′(x) = 8·x3 + 3·x2.
  17. f′(x) = 3·x2 + 4·x + 1, поэтому f′(0) = 1.
  18. f′(x) = 3·x2 + 6·x − 1, поэтому f′(2) = 23.
  19. f′(x) = 8·x3 − 3·x2 + 2, поэтому f′(-1) = -9.
  20. f′(x) = 8·x3 + 3·x2 + 8·x + 2, поэтому f′(1) = 21.

Для быстрого повторения достаточно уметь проговорить формулу без перестановок: «производная первого на второе плюс первое на производную второго». Если в результате № 1–12 нет x, хотя исходный многочлен имеет степень выше первой, перепроверьте всю запись.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым