Математика, 11 класс: объём прямой призмы через площадь основания — тренажёр

Короткое правило для прямой призмы: V = S_осн·h. Здесь h — расстояние между двумя параллельными основаниями, оно же длина бокового ребра прямой призмы. В основании могут быть прямоугольник, треугольник, параллелограмм или трапеция. Формула объёма остаётся одной и той же, меняется лишь способ найти площадь основания. В задачах с миллиметрами и литрами заранее приводите размеры к согласованным единицам.

Почему важна именно площадь основания

Представьте стопку одинаковых листов, каждый площадью 30 см²; её высота 7 см. Объём соответствует произведению 30·7 = 210 см³. Если вместо площади основания взять периметр, единицы измерения станут неправильными. Ещё одна ловушка: у треугольника есть собственная высота для вычисления площади, и отдельно — высота всей призмы. Это два разных размера.

Вопросы на понимание: ответьте прежде, чем вычислять

1) Почему объём измеряется в см³, а не в см²? 2) Если увеличить только высоту призмы вдвое, во сколько раз увеличится V? 3) Если заменить основание на фигуру той же площади и оставить h прежней, изменится ли объём? Обоснование: одна и та же площадь, умноженная на одну и ту же высоту, даёт один объём независимо от формы основания.

Тренажёр 1 — готовая площадь основания

Не пропускайте запись единиц. В этих первых трёх задачах площадь уже известна: это проверка правильного применения формулы и умножения.

1. Площадь основания прямой призмы 12 см², высота 5 см. Найдите объём. Решение: ___________________________
2. Площадь основания прямой призмы 35 см², высота 4 см. Найдите объём. Решение: ___________________________
3. Площадь основания прямой призмы 27 см², высота 8 см. Найдите объём. Решение: ___________________________

Тренажёр 2 — сначала найдите основание

В заданиях 4–12 фигуры в основаниях различаются. Нарисуйте небольшой схематический эскиз и подпишите, какая высота относится к основанию, а какая — к призме. Для ромба и трапеции вспомните отдельную формулу площади, только затем переходите к объёму.

4. В основании прямой призмы прямоугольник 6 × 9 см, высота 5 см. Вычислите объём. Решение: ___________________________
5. В основании прямой призмы прямоугольник 7 × 12 см, высота 3 см. Вычислите объём. Решение: ___________________________
6. Основание — квадрат со стороной 8 см, высота прямой призмы 9 см. Найдите объём. Решение: ___________________________
7. Основание — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Высота призмы 10 см. Найдите V. Решение: ___________________________
8. Основание — прямоугольный треугольник с катетами 10 и 12 см. Высота призмы 7 см. Найдите V. Решение: ___________________________
9. Основание — параллелограмм: сторона 9 см и высота к ней 6 см. Высота самой призмы 4 см. Вычислите V. Решение: ___________________________
10. Основание — трапеция с основаниями 6 и 10 см, высотой 5 см. Высота призмы 9 см. Вычислите V. Решение: ___________________________
11. В основании ромб с диагоналями 10 и 12 см, высота призмы 6 см. Найдите V. Решение: ___________________________
12. Призма имеет прямоугольное основание 12 см на 20 см и высоту 15 см. Найдите V. Решение: ___________________________

Обратные задачи и перевод единиц

Задания 13–18 нужны, чтобы проверить понимание формулы с обратной стороны. Если нужно найти высоту или площадь, не умножайте исходные числа: используйте деление. Запомните соотношение 1 л = 1000 см³ и 10 мм = 1 см.

13. Площадь основания 150 см², высота 8 мм. Выразите объём в см³. Решение: ___________________________
14. Объём прямой призмы 420 см³, площадь основания 35 см². Найдите высоту. Решение: ___________________________
15. Объём прямой призмы 936 см³, высота 12 см. Найдите площадь основания. Решение: ___________________________
16. Прямоугольное основание имеет стороны 25 см и 16 см, высота призмы 30 см. Сколько литров занимает тело? Решение: ___________________________
17. Призма имеет квадратное основание со стороной 5 см и высоту 5 см. Найдите объём. Решение: ___________________________
18. В основании прямоугольный треугольник с катетами 15 и 8 см, высота призмы 20 см. Найдите V. Решение: ___________________________

Полный ключ: расчет площади, затем объёма

1. 60. V = S_осн·h = 12·5 = 60 см³.
2. 140. V = S_осн·h = 35·4 = 140 см³.
3. 216. V = S_осн·h = 27·8 = 216 см³.
4. 270. S_осн = 6·9 = 54 см², V = 54·5 = 270 см³.
5. 252. S_осн = 7·12 = 84 см², V = 84·3 = 252 см³.
6. 576. S = 8² = 64 см², V = 64·9 = 576 см³.
7. 240. S = 6·8/2 = 24 см²; V = S·10 = 240 см³.
8. 420. S = 10·12/2 = 60 см²; V = S·7 = 420 см³.
9. 216. S = 9·6 = 54 см²; V = 54·4 = 216 см³. Две высоты нельзя путать.
10. 360. S = (6+10)·5/2 = 40 см²; V = 40·9 = 360 см³.
11. 360. S = 10·12/2 = 60 см²; V = 60·6 = 360 см³.
12. 3600. S = 240 см², V = 240·15 = 3600 см³.
13. 120. 8 мм = 0,8 см; V = 150·0,8 = 120 см³.
14. 12. h = V/S = 420/35 = 12 см.
15. 78. S = V/h = 936/12 = 78 см².
16. 12. S = 25·16 = 400 см²; V = 400·30 = 12 000 см³ = 12 л.
17. 125. V = 5²·5 = 125 см³.
18. 1200. S = 15·8/2 = 60 см²; V = 60·20 = 1200 см³.

Критерии самопроверки

Каждый пункт оценивается в два балла: один за правильный способ вычисления площади/высоты и один за точный ответ с единицами. Максимум — 36. За задачи без промежуточного этапа достаточно верной формулы с подстановкой. Учителю удобно отдать первые 12 заданий для основной тренировки, а 13–18 — для проверочной работы или домашнего закрепления. Если учащийся ошибся только в единицах, дайте отдельную короткую коррекцию: перевести мм в см и см³ в литры.

Способ обратной проверки: разделите полученный объём на найденную высоту — должна восстановиться площадь основания. Например, для задачи с треугольником 1200/20 = 60 см². Такой контроль быстро находит ошибку в последнем умножении, даже если первоначальный рисунок выполнен верно.