Карточка с объяснениями: объём конуса в задачах со сравнением тел — 11 класс

Этот практикум посвящён сравнению объёмов конуса и цилиндра. Для цилиндра V = πr²h, для конуса V = πr²h/3. Вторая формула означает: если радиус и высота у цилиндра и конуса одинаковы, конус занимает ровно треть объёма цилиндра. Однако при различных радиусах и высотах правило «делить на три» без вычислений недостаточно. В 25 заданиях сравниваются как тела одинакового вида, так и разные тела. Точные ответы даны через π, поэтому калькулятор не обязателен.

Быстрый старт: почему одного сравнения высот недостаточно

Увеличение высоты вдвое увеличивает объём вдвое, если радиус не изменился. Увеличение радиуса вдвое увеличивает объём вчетверо при той же высоте, поскольку формула содержит r². Сравним конус r = 6, h = 4 и цилиндр r = 3, h = 4: объём конуса равен π·36·4/3 = 48π, цилиндра — π·9·4 = 36π. Конус вместительнее, хотя у фигур одна и та же высота. Проверьте единицы: оба результата в см³.

Семь быстрых сравнений

Решайте устно там, где можно сократить общие множители. Выписывайте сначала формулы для двух фигур, а не только название большей. Для одинаковых радиусов достаточно сравнить коэффициенты при высоте; для одинаковых высот — квадраты радиусов, и при этом необходимо помнить, какое тело является конусом.

1. Стакан и воронка одинаковых внутренних размеров. Тело А: конус, радиус 3 см, высота 6 см; тело Б: цилиндр, радиус 3 см, высота 6 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
2. Сравнение школьных моделей одинаковой высоты. Тело А: конус, радиус 5 см, высота 12 см; тело Б: цилиндр, радиус 5 см, высота 12 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
3. Две воронки с одинаковым основанием. Тело А: конус, радиус 4 см, высота 9 см; тело Б: конус, радиус 4 см, высота 18 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
4. Увеличение радиуса при постоянной высоте. Тело А: конус, радиус 6 см, высота 6 см; тело Б: конус, радиус 3 см, высота 6 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
5. Широкая низкая и узкая высокая ёмкости. Тело А: цилиндр, радиус 4 см, высота 12 см; тело Б: цилиндр, радиус 8 см, высота 3 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
6. Два конических контейнера. Тело А: конус, радиус 2 см, высота 15 см; тело Б: конус, радиус 3 см, высота 10 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
7. Сравнение объёмов без угадывания по высоте. Тело А: цилиндр, радиус 3 см, высота 8 см; тело Б: конус, радиус 6 см, высота 6 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________

Повышенная сложность: два радиуса и две высоты

В следующих десяти задачах упрощайте отношение V_А/V_Б до несократимой дроби. Если оно больше единицы, больше тело А; если меньше — тело Б. Для фразы «во сколько раз больше» берите отношение большего объёма к меньшему, поэтому итоговый множитель не меньше 1. Не округляйте π — при сравнении она сокращается.

8. Сравнение базового радиуса и двух разных высот. Тело А: конус, радиус 3 см, высота 12 см; тело Б: цилиндр, радиус 4 см, высота 6 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
9. Два песочных конуса. Тело А: конус, радиус 5 см, высота 9 см; тело Б: конус, радиус 3 см, высота 15 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
10. Выясните, могут ли объёмы совпасть. Тело А: цилиндр, радиус 6 см, высота 10 см; тело Б: конус, радиус 6 см, высота 30 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
11. Узкий цилиндр и широкий конус. Тело А: конус, радиус 4 см, высота 15 см; тело Б: цилиндр, радиус 2 см, высота 20 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
12. Изменение радиуса и высоты в противоположные стороны. Тело А: конус, радиус 8 см, высота 3 см; тело Б: конус, радиус 4 см, высота 12 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
13. Две упаковки одинакового материала. Тело А: цилиндр, радиус 5 см, высота 8 см; тело Б: конус, радиус 10 см, высота 3 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
14. Насадки двух форм. Тело А: конус, радиус 3 см, высота 20 см; тело Б: цилиндр, радиус 5 см, высота 6 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
15. Модель с одинаковыми размерами основания и высоты. Тело А: цилиндр, радиус 7 см, высота 12 см; тело Б: конус, радиус 7 см, высота 12 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
16. Две бумажные формы. Тело А: конус, радиус 2 см, высота 18 см; тело Б: конус, радиус 6 см, высота 2 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
17. Высокий конус и небольшой цилиндр. Тело А: конус, радиус 6 см, высота 9 см; тело Б: цилиндр, радиус 3 см, высота 12 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________

Практический кейс: какую форму выбрать

Представьте, что нужно выбрать вместительную модель для песка или упаковку из двух предложенных форм. В заданиях заданы внутренние радиусы и высоты; толщиной стенок пренебрегаем. Укажите более вместительную форму и точный коэффициент сравнения. В реальной задаче дополнительно учитывали бы размеры отверстия и удобство использования, но здесь сравнивается только геометрический объём.

18. Выбор большей формы для песка. Тело А: цилиндр, радиус 4 см, высота 5 см; тело Б: конус, радиус 5 см, высота 12 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
19. Большой радиус не всегда значит больший объём. Тело А: конус, радиус 9 см, высота 4 см; тело Б: цилиндр, радиус 6 см, высота 3 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
20. Зависимость от квадрата радиуса. Тело А: конус, радиус 3 см, высота 24 см; тело Б: конус, радиус 6 см, высота 6 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
21. Плоский цилиндр и вытянутый конус. Тело А: цилиндр, радиус 9 см, высота 2 см; тело Б: конус, радиус 3 см, высота 18 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
22. Сравнение объёмов при укороченном цилиндре. Тело А: конус, радиус 7 см, высота 6 см; тело Б: цилиндр, радиус 7 см, высота 2 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
23. Тонкая трубка и широкий конус. Тело А: цилиндр, радиус 2 см, высота 16 см; тело Б: конус, радиус 4 см, высота 12 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
24. Тест на коэффициент одна треть. Тело А: конус, радиус 5 см, высота 18 см; тело Б: цилиндр, радиус 3 см, высота 10 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________
25. Итоговый кейс для школьной выставки. Тело А: конус, радиус 8 см, высота 9 см; тело Б: конус, радиус 6 см, высота 16 см. Сравните объёмы. Решение: ___________________________

Полный ключ с вычислением объёмов и их отношений

1. V_А = 18π см³, V_Б = 54π см³; Б больше A в 3 раза.. А: πr²h/3 = 18π; Б: πr²h = 54π. Отношение V_А/V_Б = 1/3; Б больше A в 3 раза.
2. V_А = 100π см³, V_Б = 300π см³; Б больше A в 3 раза.. А: πr²h/3 = 100π; Б: πr²h = 300π. Отношение V_А/V_Б = 1/3; Б больше A в 3 раза.
3. V_А = 48π см³, V_Б = 96π см³; Б больше A в 2 раза.. А: πr²h/3 = 48π; Б: πr²h/3 = 96π. Отношение V_А/V_Б = 1/2; Б больше A в 2 раза.
4. V_А = 72π см³, V_Б = 18π см³; A больше Б в 4 раза.. А: πr²h/3 = 72π; Б: πr²h/3 = 18π. Отношение V_А/V_Б = 4; A больше Б в 4 раза.
5. V_А = 192π см³, V_Б = 192π см³; их объёмы равны.. А: πr²h = 192π; Б: πr²h = 192π. Отношение V_А/V_Б = 1; их объёмы равны.
6. V_А = 20π см³, V_Б = 30π см³; Б больше A в 3/2 раза.. А: πr²h/3 = 20π; Б: πr²h/3 = 30π. Отношение V_А/V_Б = 2/3; Б больше A в 3/2 раза.
7. V_А = 72π см³, V_Б = 72π см³; их объёмы равны.. А: πr²h = 72π; Б: πr²h/3 = 72π. Отношение V_А/V_Б = 1; их объёмы равны.
8. V_А = 36π см³, V_Б = 96π см³; Б больше A в 8/3 раза.. А: πr²h/3 = 36π; Б: πr²h = 96π. Отношение V_А/V_Б = 3/8; Б больше A в 8/3 раза.
9. V_А = 75π см³, V_Б = 45π см³; A больше Б в 5/3 раза.. А: πr²h/3 = 75π; Б: πr²h/3 = 45π. Отношение V_А/V_Б = 5/3; A больше Б в 5/3 раза.
10. V_А = 360π см³, V_Б = 360π см³; их объёмы равны.. А: πr²h = 360π; Б: πr²h/3 = 360π. Отношение V_А/V_Б = 1; их объёмы равны.
11. V_А = 80π см³, V_Б = 80π см³; их объёмы равны.. А: πr²h/3 = 80π; Б: πr²h = 80π. Отношение V_А/V_Б = 1; их объёмы равны.
12. V_А = 64π см³, V_Б = 64π см³; их объёмы равны.. А: πr²h/3 = 64π; Б: πr²h/3 = 64π. Отношение V_А/V_Б = 1; их объёмы равны.
13. V_А = 200π см³, V_Б = 100π см³; A больше Б в 2 раза.. А: πr²h = 200π; Б: πr²h/3 = 100π. Отношение V_А/V_Б = 2; A больше Б в 2 раза.
14. V_А = 60π см³, V_Б = 150π см³; Б больше A в 5/2 раза.. А: πr²h/3 = 60π; Б: πr²h = 150π. Отношение V_А/V_Б = 2/5; Б больше A в 5/2 раза.
15. V_А = 588π см³, V_Б = 196π см³; A больше Б в 3 раза.. А: πr²h = 588π; Б: πr²h/3 = 196π. Отношение V_А/V_Б = 3; A больше Б в 3 раза.
16. V_А = 24π см³, V_Б = 24π см³; их объёмы равны.. А: πr²h/3 = 24π; Б: πr²h/3 = 24π. Отношение V_А/V_Б = 1; их объёмы равны.
17. V_А = 108π см³, V_Б = 108π см³; их объёмы равны.. А: πr²h/3 = 108π; Б: πr²h = 108π. Отношение V_А/V_Б = 1; их объёмы равны.
18. V_А = 80π см³, V_Б = 100π см³; Б больше A в 5/4 раза.. А: πr²h = 80π; Б: πr²h/3 = 100π. Отношение V_А/V_Б = 4/5; Б больше A в 5/4 раза.
19. V_А = 108π см³, V_Б = 108π см³; их объёмы равны.. А: πr²h/3 = 108π; Б: πr²h = 108π. Отношение V_А/V_Б = 1; их объёмы равны.
20. V_А = 72π см³, V_Б = 72π см³; их объёмы равны.. А: πr²h/3 = 72π; Б: πr²h/3 = 72π. Отношение V_А/V_Б = 1; их объёмы равны.
21. V_А = 162π см³, V_Б = 54π см³; A больше Б в 3 раза.. А: πr²h = 162π; Б: πr²h/3 = 54π. Отношение V_А/V_Б = 3; A больше Б в 3 раза.
22. V_А = 98π см³, V_Б = 98π см³; их объёмы равны.. А: πr²h/3 = 98π; Б: πr²h = 98π. Отношение V_А/V_Б = 1; их объёмы равны.
23. V_А = 64π см³, V_Б = 64π см³; их объёмы равны.. А: πr²h = 64π; Б: πr²h/3 = 64π. Отношение V_А/V_Б = 1; их объёмы равны.
24. V_А = 150π см³, V_Б = 90π см³; A больше Б в 5/3 раза.. А: πr²h/3 = 150π; Б: πr²h = 90π. Отношение V_А/V_Б = 5/3; A больше Б в 5/3 раза.
25. V_А = 192π см³, V_Б = 192π см³; их объёмы равны.. А: πr²h/3 = 192π; Б: πr²h/3 = 192π. Отношение V_А/V_Б = 1; их объёмы равны.

Три распространённые ошибки и их исправление

Ошибка первая: используют πrh вместо πr²h — это даёт неправильную размерность. Ошибка вторая: забывают коэффициент 1/3 для конуса или применяют его к цилиндру. Ошибка третья: решают «больше радиус — больше объём», не учитывая высоту и вид тела. Чтобы исправить такие ошибки, заново выпишите V_А и V_Б как коэффициенты при π и только после этого сократите дробь.

Ученик может сам проверить любой ответ: подставить оба объёма в отношение, например 12π/4π = 3, и убедиться, что сумма не используется при поиске кратности. Учителю предлагается оценивать каждое сравнение по трём признакам: верные формулы, два точных объёма, корректное сравнение. После выполнения можно задать самостоятельное исследование: при каких соотношениях радиусов и высот два тела имеют равный объём? Оно не требует новых геометрических формул, только аккуратных вычислений и понимания пропорциональности.