Практикум по математике: объём шара по заданному радиусу — 11 класс

Объём шара по известному радиусу вычисляют по формуле V = 4πr³/3. Радиус — отрезок от центра шара до его поверхности, а диаметр вдвое больше радиуса. Результат записывают в кубических единицах: см³, м³ или мм³. В этой работе ответ сначала оставляют точно через π; замена π на 3,14 нужна только для приближённой оценки. Это не тот же объект, что сфера: сфера — поверхность, шар — всё заполненное пространство внутри неё.

Числовая лаборатория: как объём меняется с радиусом

Проверьте на трёх шарах с радиусами 1, 2 и 3 см. Их объёмы равны 4π/3, 32π/3 и 36π см³. При увеличении радиуса в два раза объём растёт в восемь раз, а не вдвое. Причина — куб радиуса в формуле. Это свойство пригодится для быстрой самопроверки в задачах о моделях шаров, без повторного вычисления π.

Первый рабочий блок — целые радиусы

В задачах 1–8 все радиусы целые. Сначала возведите число в третью степень, затем умножьте на 4/3. Для самопроверки оцените, может ли число быть меньше объёма шара с меньшим радиусом. Если ответ противоречит росту r³, исправьте арифметику до перехода к дробным радиусам.

1. Радиус шара r = 1 см. Найдите объём по формуле и укажите единицы. Решение: ___________________________
2. Радиус шара r = 2 см. Найдите объём по формуле и укажите единицы. Решение: ___________________________
3. Радиус шара r = 3 см. Найдите объём по формуле и укажите единицы. Решение: ___________________________
4. Радиус шара r = 4 см. Найдите объём по формуле и укажите единицы. Решение: ___________________________
5. Радиус шара r = 5 см. Найдите объём по формуле и укажите единицы. Решение: ___________________________
6. Радиус шара r = 6 см. Найдите объём по формуле и укажите единицы. Решение: ___________________________
7. Радиус шара r = 9 см. Найдите объём по формуле и укажите единицы. Решение: ___________________________
8. Радиус шара r = 12 см. Найдите объём по формуле и укажите единицы. Решение: ___________________________

Второй блок — дробные радиусы и смена единиц

Здесь встречаются половины сантиметра и радиусы, заданные в миллиметрах. Перед подстановкой переведите мм в см, если ответ требуется в см³. Нельзя сначала вычислить куб численного значения, а затем разделить лишь на 10: при изменении масштаба длины в 10 раз объём меняется в 1000 раз.

9. Радиус шара r = 1/2 см. Найдите объём по формуле и укажите единицы. Решение: ___________________________
10. Радиус шара r = 3/2 см. Найдите объём по формуле и укажите единицы. Решение: ___________________________
11. Радиус шара 20 мм. Переведите его в сантиметры, затем найдите V в см³ (ответ через π). Решение: ___________________________
12. Радиус шара 35 мм. Переведите его в сантиметры, затем найдите V в см³ (ответ через π). Решение: ___________________________

Практические вычисления и контроль размерности

Задания 13–17 включают большие радиусы и метры. После записи точного ответа найдите приближённое значение самостоятельно при π ≈ 3,14, если его требует учитель. Если радиус указан в метрах, итог получают в м³; при необходимости переводят в литры с учётом 1 м³ = 1000 л. Ответ через π остаётся основным и точным.

13. Радиус шара r = 10 см. Найдите объём по формуле и укажите единицы. Решение: ___________________________
14. Радиус шара r = 15 см. Найдите объём по формуле и укажите единицы. Решение: ___________________________
15. Радиус шара r = 1/2 м. Найдите объём по формуле и укажите единицы. Решение: ___________________________
16. Радиус шара r = 2 м. Найдите объём по формуле и укажите единицы. Решение: ___________________________
17. Радиус шара r = 3/4 см. Найдите объём по формуле и укажите единицы. Решение: ___________________________

Ключ ответов и объяснения

1. 4/3π см³. V = (4/3)πr³ = (4/3)π·(1)³ = 4/3π см³.
2. 32/3π см³. V = (4/3)πr³ = (4/3)π·(2)³ = 32/3π см³.
3. 36π см³. V = (4/3)πr³ = (4/3)π·(3)³ = 36π см³.
4. 256/3π см³. V = (4/3)πr³ = (4/3)π·(4)³ = 256/3π см³.
5. 500/3π см³. V = (4/3)πr³ = (4/3)π·(5)³ = 500/3π см³.
6. 288π см³. V = (4/3)πr³ = (4/3)π·(6)³ = 288π см³.
7. 972π см³. V = (4/3)πr³ = (4/3)π·(9)³ = 972π см³.
8. 2304π см³. V = (4/3)πr³ = (4/3)π·(12)³ = 2304π см³.
9. 1/6π см³. V = (4/3)πr³ = (4/3)π·(1/2)³ = 1/6π см³.
10. 9/2π см³. V = (4/3)πr³ = (4/3)π·(3/2)³ = 9/2π см³.
11. 32/3π см³. 20 мм = 2 см; V = (4/3)π·(2)³ = 32/3π см³.
12. 343/6π см³. 35 мм = 7/2 см; V = (4/3)π·(7/2)³ = 343/6π см³.
13. 4000/3π см³. V = (4/3)πr³ = (4/3)π·(10)³ = 4000/3π см³.
14. 4500π см³. V = (4/3)πr³ = (4/3)π·(15)³ = 4500π см³.
15. 1/6π м³. V = (4/3)πr³ = (4/3)π·(1/2)³ = 1/6π м³.
16. 32/3π м³. V = (4/3)πr³ = (4/3)π·(2)³ = 32/3π м³.
17. 9/16π см³. V = (4/3)πr³ = (4/3)π·(3/4)³ = 9/16π см³.

Самопроверка: два независимых приёма

Первый приём — проверка степеней: для r = 2 см значение r³ = 8, а не 4. Второй — проверка масштаба: шар радиуса 6 см должен иметь объём в восемь раз больше шара радиуса 3 см. Если это не выполняется, ищите ошибку до вычисления десятичного приближения. При вычислении дробного радиуса предварительно возводите дробь в куб: (1/2)³ = 1/8.

Учителю: задания 1–8 подходят для коллективного закрепления, 9–12 — для отдельной диагностической карточки, 13–17 — для самостоятельной работы. За каждый пункт рекомендуются два балла: за верное возведение радиуса в куб и за конечный ответ с единицами. Ученикам, путающим шар и сферу, полезно сравнить формулы объёма V = 4πr³/3 и площади поверхности S = 4πr²; в задании требуется именно объём, поэтому используется третья степень.