Чтение графика остывания при приближённо линейном участке: задачи и решения для 7 класса

Исследование для 7 класса. В таблицах заданы точки экспериментального графика остывания напитка. Горизонтальная ось — время t (мин), вертикальная — температура T (°C). Соедините соседние измеренные точки отрезками в тетради. Полученная ломаная приближает кривую реального остывания; она не утверждает, что температура всегда уменьшается с постоянной скоростью.

Наблюдение: первые шесть минут

От t=0 до t=6 каждые две минуты температура падает на 8 °C. На этом интервале скорость изменения близка к −4 °C/мин. После 6-й минуты охлаждение замедляется: падения составляют 6 °C за 2 мин и 4 °C за 2 мин.

Гипотеза и проверка

На интервале 0≤t≤6 можно использовать приближение T(t)=90−4t. Например, при t=3 мин модель даёт 78 °C — промежуточную точку между (2;82) и (4;74). Проверка при t=6: 90−4·6=66 °C, как в наблюдениях.

При t=10 продолжать ту же формулу нельзя без оговорки: модель дала бы 50 °C, тогда как измерено 56 °C. Для участка 8–10 мин линейная интерполяция отдельно задаётся T=60−2(t−8). Это модель только небольшого интервала, а не физический закон остывания.

Проверка гипотезы: 12 самостоятельных вопросов

1. По таблице найдите температуру через 4 мин. Решение: __________________
2. Какая температура была в начале опыта? Решение: __________________
3. На сколько градусов напиток остыл за первые 6 мин? Решение: __________________
4. Найдите скорость изменения T на отрезке t от 2 до 6 мин. Решение: __________________
5. Найдите T при t=5 в пределах первого линейного участка. Решение: __________________
6. Когда на первом линейном участке достигаются 78 °C? Решение: __________________
7. Определите уменьшение T на участке 6–8 мин. Решение: __________________
8. Сравните средние скорости остывания 0–6 и 8–10 мин. Решение: __________________
9. Можно ли утверждать, что при t=20 будет 10 °C по модели 90−4t? Решение: __________________
10. На втором участке t=8–10 найдите оценку при t=9. Решение: __________________
11. Найдите разницу между измеренной и продолженной по первому участку моделью при t=10. Решение: __________________
12. Назовите точку перегиба скорости в смысле таблицы: после какого момента падение за каждые две минуты перестало быть 8 °C? Решение: __________________

Дополнительный опыт: сравните форму графиков

Во втором опыте при t=0, 3, 6, 9 мин записаны температуры 78, 72, 66, 63 °C. На первых шести минутах уменьшение равно 2 °C/мин, а на участке 6–9 мин — 1 °C/мин. Линейная модель первых шести минут: T=78−2t. По ней при t=4,5 мин получаем 69 °C. Именно такое приближённое чтение графика — интерполяция, а не точное измерение.

Как перенести данные на клетчатую бумагу

Выберите по горизонтали масштаб: две клетки — одна минута; по вертикали: одна клетка — два градуса. Отметьте t=0, 2, 4, 6, 8 и 10 мин. Температуру 90 °C расположите над отметкой t=0, затем перенесите точки (2;82), (4;74), (6;66), (8;60) и (10;56). Соедините соседние точки линейкой. Не проводите одну прямую через все шесть точек: изменение наклона после 6 минут является существенной частью данных.

Если в одной системе координат сравнивать два опыта, используйте одинаковые масштабы для обоих. Более крутое снижение на графике T(t) означает более высокую по модулю скорость охлаждения. Но высота точки и наклон — разные свойства: напиток может быть горячее, но остывать медленнее. Для определения скорости нужны две точки, а не одна.

Разобранный пример: две оценки не являются одинаково надёжными

Задано T=90−4t на интервале 0–6 мин. При t=2,5 получим T=90−10=80 °C; это интерполяция между двумя соседними измерениями. При t=12 модель дала бы 42 °C; вычисление алгебраически верно, но вывод о настоящей температуре недопустим: мы не знаем характер дальнейшего остывания. Таким образом, правильное решение состоит не только из вычисления, но и из проверки допустимого временного интервала.

Три вопроса на перенос навыка

1. В первом опыте оцените T при t=1 мин на первом линейном участке.
2. Во втором опыте оцените T при t=4,5 мин, если рассматривается участок 0–6 мин.
3. Во сколько раз модуль средней скорости первого опыта 0–6 мин больше модуля скорости второго опыта 0–6 мин?

Вывод исследования

Читая экспериментальный график, сначала проверяют подписи и масштабы осей, затем находят конкретную точку, и только после этого вычисляют разность температур или среднюю скорость изменения. Между соседними точками допустима приближённая линейная интерполяция, но далеко за пределами опыта такую модель переносить нельзя. Температура измеряется в °C, скорость её изменения — в °C/мин; это разные величины.