Доказательство равенства отрезков через равные треугольники — практикум с ответами для 7 класса

Тематический тренажёр, 7 класс. Цель — доказать равенство неотмеченных отрезков, установив равенство соответствующих треугольников. Каждое условие содержит все нужные данные: если изображение не дано, мысленно нарисуйте названные точки и подпишите равенства. Не судите о равенстве по внешнему виду фигуры.

Памятка: как закончить доказательство

• СУС: две стороны и угол между ними соответственно равны.
• УСУ: сторона и два прилежащих к ней угла соответственно равны.
• ССС: три пары соответствующих сторон равны.
• После установления равенства треугольников называйте точное соответствие вершин и только затем заключайте, что равны нужные стороны.

Серия I. Докажите новую сторону по двум сторонам и углу

1. Треугольники ABC и ADC имеют общую сторону AC. AB=AD, ∠BAC=∠CAD. Докажите BC=DC. Основание для равенства: __________
2. Прямые PQ и RS пересекаются в O. PO=QO и RO=SO. Докажите PR=QS. Основание для равенства: __________
3. В ∆ABC и ∆DEF заданы AB=DE, AC=DF и ∠BAC=∠EDF. Докажите BC=EF. Основание для равенства: __________
4. В ∆ABC и ∆DEC заданы AB=DE, BC=EC, ∠ABC=∠DEC. Докажите AC=DC. Основание для равенства: __________
5. KM — общая сторона ∆KLM и ∆KNM. KL=KN и ∠LKM=∠MKN. Докажите LM=MN. Основание для равенства: __________
6. В четырёхугольнике ABCD известно AB=CD и ∠BAC=∠DCA. Проведена AC. Докажите BC=AD. Основание для равенства: __________

Серия II. Два угла и сторона между ними

1. В ∆ABC и ∆ADC сторона AC общая, ∠BAC=∠CAD, ∠BCA=∠ACD. Докажите AB=AD. Запишите, почему данная сторона заключена между углами.
2. В ∆PQR и ∆STU: ∠QPR=∠TSU, ∠PQR=∠STU, PQ=ST. Докажите PR=SU. Запишите, почему данная сторона заключена между углами.
3. Линии A–M–C и B–M–D прямые. AM=DM, ∠BAM=∠CDM. Докажите AB=DC. Запишите, почему данная сторона заключена между углами.
4. В ∆ABC и ∆DEF: ∠ABC=∠DEF, ∠BCA=∠EFD, BC=EF. Докажите AB=DE. Запишите, почему данная сторона заключена между углами.
5. В ∆ABC и ∆ADC дано ∠BCA=∠ACD, ∠BAC=∠CAD, общая AC. Докажите BC=DC. Запишите, почему данная сторона заключена между углами.
6. В ∆RST и ∆UVW равны ∠SRT=∠VUW, ∠RST=∠UVW и RS=UV. Докажите RT=UW. Запишите, почему данная сторона заключена между углами.

Серия III. Составные доказательства через середины сторон

Здесь нельзя ограничиться фразой «большие треугольники равны». Нужно объяснить, почему равны построенные внутренние отрезки. Середина делит сторону на две равные части.

1. В ∆ABC и ∆DEF: AB=DE, BC=EF, AC=DF. M — середина BC, N — середина EF. Докажите AM=DN. Докажите утверждение в два шага.
2. В ∆ABC и ∆DEF: AB=DE, BC=EF, AC=DF. X и Y — середины AB и DE. Докажите CX=FY. Докажите утверждение в два шага.
3. В ∆ABC и ∆DEC: AB=DE, BC=EC, AC=DC. M и N — середины AC и DC. Докажите BM=EN. Докажите утверждение в два шага.
4. В ∆KLM и ∆PQR даны KL=PQ, LM=QR, KM=PR. X — середина KL, Y — середина PQ. Докажите MX=RY. Докажите утверждение в два шага.
5. В ∆RST и ∆UVW даны RS=UV, ST=VW, RT=UW. X — середина ST, Y — середина VW. Докажите RX=UY. Докажите утверждение в два шага.
6. ∆HJK и ∆LMN имеют HJ=LM, JK=MN, HK=LN. X и Y — середины HK и LN. Докажите JX=MY. Докажите утверждение в два шага.

Образец оформления полного доказательства

Условие: ∆ABC и ∆ADC имеют общую AC; AB=AD, ∠BAC=∠CAD. Доказать: BC=DC. Доказательство: (1) рассмотрим ∆BAC и ∆DAC; (2) BA=DA по условию, AC=AC как общая сторона; (3) включённые углы BAC и DAC равны по условию; (4) следовательно, ∆BAC≅∆DAC по первому признаку (СУС); (5) стороны BC и DC соответствуют друг другу, значит BC=DC. На каждом шаге названа точная причина; этот формат подходит для письменной проверки.

Обратите внимание: запись «BC=DC, потому что на рисунке стороны выглядят одинаково» не является доказательством. Даже корректно нарисованная симметрия должна быть обоснована данными. При работе с общим отрезком не нужно доказывать «AC=AC» отдельной теоремой — это тождественное равенство одной и той же стороны.

Ключ решений

Серия I — 6 доказательств

1. AC=AC, AB=AD, углы между этими сторонами равны. По СУС треугольники ABC и ADC равны, значит BC=DC.
2. ∠POR=∠QOS как вертикальные. Треугольники POR и QOS равны по СУС; соответствующие PR и QS равны.
3. В каждом треугольнике дан угол между указанными сторонами. По СУС ∆ABC≅∆DEF, потому BC=EF.
4. Углы B и E заключены между соответствующими сторонами. По СУС ∆ABC≅∆DEC; AC=DC.
5. KL=KN; KM=KM; равны заключённые углы при K. По СУС треугольники равны, LM=MN.
6. Сравним ∆BAC и ∆DCA: BA=DC, AC=CA, заключённые углы BAC и DCA равны. По СУС BC=DA.

Серия II — 6 доказательств

1. АС общая и заключена между данными равными углами. По УСУ ∆ABC≅∆ADC; AB=AD.
2. PQ и ST — стороны между указанными углами. По УСУ ∆PQR≅∆STU, поэтому PR=SU.
3. ∠BMA=∠DMC — вертикальные. AM=DM — сторона между углами при A,M и D,M. По УСУ ∆ABM≅∆DCM; AB=DC.
4. BC и EF лежат между двумя равными парами углов; по УСУ ∆ABC≅∆DEF, AB=DE.
5. По УСУ треугольники ABC и ADC равны: AC=AC и два прилежащих угла равны; BC=DC.
6. Два угла при концах RS равны двум углам при концах UV, стороны RS=UV. По УСУ RT=UW.

Серия III — 6 доказательств

1. По ССС ∆ABC≅∆DEF. Из BC=EF получаем BM=EN; ∠ABM=∠DEN, AB=DE. По СУС ∆ABM≅∆DEN, значит AM=DN.
2. По ССС большие треугольники равны, ∠CAX=∠FDY. AX=DY как половины равных AB и DE; AC=DF. По СУС ∆ACX≅∆DFY, значит CX=FY.
3. По ССС ∆ABC≅∆DEC (A↔D, B↔E, C↔C). AM=DN, AB=DE, ∠BAM=∠EDN. По СУС ∆BAM≅∆EDN, поэтому BM=EN.
4. По ССС большие треугольники равны. KX=PY и ∠MKX=∠RPY, KM=PR. По СУС ∆MKX≅∆RPY; MX=RY.
5. По ССС ∆RST≅∆UVW. SX=VY и ∠RSX=∠UVY; RS=UV. По СУС ∆RSX≅∆UVY; RX=UY.
6. По ССС ∆HJK≅∆LMN, значит ∠JHX=∠MLY. HX=LY, HJ=LM. По СУС ∆JHX≅∆MLY и JX=MY.

Самооценка. Полный ответ должен содержать три составляющие: перечисление равных элементов с правильным соответствием вершин, название признака, итоговую пару искомых отрезков. В задачах серии III требуются два последовательных шага: равенство больших, затем малых треугольников.