Поиск недостающего условия в доказательстве равенства треугольников: пошаговые задания для 7 класса

Разбор по шагам, 7 класс. Задача не в том, чтобы «угадать третью отметку», а в том, чтобы найти достаточное условие для конкретного признака. Дополнительных условий может быть несколько. В ответах ниже указано по одному правильному варианту — там, где он существует.

Вступительная задача: куда поставить третью отметку?

Для ∆ABC и ∆DEF отмечено AB=DE и AC=DF. Существует два разумных пути завершения: (1) показать равенство углов ∠BAC=∠EDF и применить признак СУС; (2) доказать BC=EF и применить ССС. Нельзя без объяснения заменить включённый угол углом при B.

Два способа рассуждения

Задания: допишите достаточное условие или найдите ошибку

1. В ∆ABC и ∆DEF известны AB=DE и AC=DF. Дополните для СУС.

   Условие/вывод: __________________________

2. В ∆PQR и ∆STU известны PQ=ST и QR=TU. Укажите нужный угол.

   Условие/вывод: __________________________

3. В ∆KLM и ∆XYZ известно KL=XY, ∠K=∠X. Какое второе равенство сторон завершает СУС?

   Условие/вывод: __________________________

4. В ∆ABC и ∆DEF равны ∠A=∠D и ∠B=∠E. Какое равенство сторон даёт УСУ?

   Условие/вывод: __________________________

5. В ∆PQR и ∆UVW равны ∠Q=∠V и QR=VW. Какой ещё угол нужен для УСУ?

   Условие/вывод: __________________________

6. В ∆ABC и ∆DEF даны AB=DE, BC=EF. Для ССС чего не хватает?

   Условие/вывод: __________________________

7. В ∆RST и ∆KLM даны RS=KL, RT=KM. Можно ли добавить ST=LM для ССС?

   Условие/вывод: __________________________

8. В ∆ABC и ∆ADC сторона AC общая, AB=AD. Что добавить для СУС?

   Условие/вывод: __________________________

9. В ∆ABC и ∆DEF известны ∠A=∠D и ∠C=∠F. Назовите сторону для УСУ.

   Условие/вывод: __________________________

10. В ∆MNP и ∆UVW даны MN=UV и MP=UW. Достаточно ли равенства ∠MNP=∠UVW?

    Условие/вывод: __________________________

11. У двух треугольников соответственно равны все три угла. Можно ли заключить равенство треугольников?

    Условие/вывод: __________________________

12. Известны AB=DE, AC=DF и ∠ABC=∠DEF. Сработает ли СУС?

    Условие/вывод: __________________________

13. В прямоугольных ∆ABC и ∆DEF с прямыми углами B и E равны AB=DE и BC=EF. Что можно заключить?

    Условие/вывод: __________________________

14. Если ∆ABC и ∆DEF имеют AB=DE, BC=EF и AC=DF, а рисунок выглядит по-разному, чему верить?

    Условие/вывод: __________________________

Подробные ответы и проверка ловушек

1. Достаточно ∠BAC=∠EDF — углы заключены между данными сторонами.
2. Достаточно ∠PQR=∠STU — углы при Q и T между указанными сторонами.
3. KM=XZ; сторона KM вместе с KL образует угол K, а XZ с XY — угол X.
4. AB=DE — сторона между данными углами.
5. ∠R=∠W: сторона QR (VW) лежит между углами Q,R (V,W).
6. AC=DF — третья соответствующая сторона.
7. Да; это третья пара соответствующих сторон.
8. ∠BAC=∠CAD — два угла между AB, AC и AD, AC.
9. AC=DF — включённая между A,C и D,F сторона.
10. Нет: эти углы не заключены между обеими данными сторонами. Для СУС нужен ∠NMP=∠VUW.
11. Нет. Углы обеспечивают подобие, но не равенство: возможны треугольники со сторонами 3,4,5 и 6,8,10.
12. Нет: ∠ABC находится при B, а угол между AB и AC расположен при A. Данных недостаточно для признака СУС.
13. Этого достаточно: прямые углы ∠ABC и ∠DEF равны и заключены между данными катетами; работает СУС.
14. Равенство доказано по ССС, независимо от поворота, отражения или масштаба схематического рисунка.

Три контрольные ловушки с пояснениями

1. Ловушка А. Дан лишь один равный угол и одна равная сторона у двух произвольных треугольников. Можно ли доказать равенство? Нет, не хватает условий ни для одного из трёх признаков.
2. Ловушка Б. Две пары сторон и угол между ними соответственно равны, но треугольники в зеркальном положении. Равны ли они? Да. Отражение не меняет длины и величины углов, и СУС применим.
3. Ловушка В. Показаны три равных соответствующих угла и одно равенство соответствующих сторон. Достаточно ли этого? Да, если эта сторона соответствует указанной: два из трёх углов можно выбрать так, чтобы сторона оказалась между ними. Например, AB=DE и углы A=D, B=E дают УСУ. Просто три угла без стороны были бы недостаточны.

Полезная проверка при самостоятельном решении: нарисуйте два треугольника с разной формой расположения вершин, проставьте данные штрихи и дуги, затем назовите признак одной полной фразой. Если в фразе невозможно указать угол между отмеченными сторонами или сторону между отмеченными углами, нужно исправить выбранный признак, а не менять подписи задним числом.

Как избежать ложного доказательства

• Запишите соответствие вершин в одном порядке: например, ∆ABC и ∆DEF означает A↔D, B↔E, C↔F.
• СУС требует именно угла между двумя уже известными сторонами; «сторона — сторона — чужой угол» не образует общего признака.
• При УСУ равная сторона должна лежать между указанными равными углами.
• Три равных угла не гарантируют одинаковый размер: равны могут быть только формы.
• На схематическом рисунке длины и углы могут быть искажены. Основание доказательства — данное условие, а не зрительное впечатление.

Критерий самопроверки: 12–14 решений с верным признаком — отлично; 9–11 — повторите положение включённого угла; 0–8 — разберите вступительную задачу и заново обозначьте пары вершин.