Система квадратного и линейного неравенств — проверочная работа, 9 класс

Контрольная по системам квадратного и линейного неравенств: в каждой строке нужно удовлетворить обоим ограничениям одновременно. Варианты независимы, поэтому подходят для печати двум учащимся.

Памятка перед работой

1. Найдите нули квадратного трёхчлена. 2. Укажите области нужного знака с учётом строгого или нестрогого неравенства. 3. На той же числовой прямой отметьте линейное ограничение. 4. Запишите только пересечение решений, не их объединение.

Оформление: запись «(x − 1)(x − 5) < 0; x ≥ 3» означает систему из этих двух неравенств. Если общей части нет, ответ — ∅.

Вариант А — восемь заданий

1. (x − 1)(x − 5) < 0; x ≥ 3 Ответ: __________________
2. (x + 4)(x − 2) ≥ 0; x < 0 Ответ: __________________
3. (x − 3)(x − 7) > 0; x ≤ 5 Ответ: __________________
4. x² − 9 ≤ 0; x > −1 Ответ: __________________
5. (x + 2)(x − 6) ≤ 0; x ≤ 0 Ответ: __________________
6. (x − 4)² > 0; x ≤ 4 Ответ: __________________
7. −(x − 2)(x + 5) ≥ 0; x > 3 Ответ: __________________
8. (x + 1)(x − 8) < 0; x ≥ 8 Ответ: __________________

Вариант Б — восемь заданий

1. (x − 2)(x − 9) ≤ 0; x > 5 Решение: __________________
2. (x + 7)(x + 1) > 0; x ≥ −3 Решение: __________________
3. (x − 6)(x + 2) ≥ 0; x ≤ 6 Решение: __________________
4. (x − 3)² ≤ 0; x ≥ 3 Решение: __________________
5. x² − 16 < 0; x ≤ −4 Решение: __________________
6. (x + 6)(x − 1) < 0; x ≤ −2 Решение: __________________
7. (x − 5)(x + 3) > 0; x < −3 Решение: __________________
8. (x + 2)(x − 4) ≥ 0; x > 0 Решение: __________________

Ключ ответов к варианту А

1. [3; 5) — Квадратное: (1; 5); пересечение с [3; +∞).
2. (−∞; −4] — Снаружи [−4; 2] с включёнными корнями; оставляем левый луч.
3. (−∞; 3) — Квадратное: (−∞; 3) ∪ (7; +∞); правый луч отсекается.
4. (−1; 3] — Отрезок [−3; 3] пересекается с (−1; +∞).
5. [−2; 0] — Сначала [−2; 6], потом ограничиваем x ≤ 0.
6. (−∞; 4) — Квадрат положителен везде, кроме 4; линейное условие оставляет левый луч.
7. ∅ — Первое даёт [−5; 2], со вторым пересечений нет.
8. ∅ — Интервал (−1; 8) не содержит точек от 8 и выше.

Ключ ответов к варианту Б

1. (5; 9] — Пересекаем [2; 9] с (5; +∞).
2. (−1; +∞) — Первое: x < −7 или x > −1; условие x ≥ −3 удаляет левый луч.
3. (−∞; −2] ∪ {6} — Первое: x ≤ −2 или x ≥ 6; у второй части остаётся только x = 6.
4. {3} — Квадрат может быть ≤ 0 только при x = 3.
5. ∅ — Из −4 < x < 4 нельзя получить x ≤ −4.
6. (−6; −2] — Первое: (−6; 1); ограничиваем x ≤ −2.
7. (−∞; −3) — Первое: x < −3 или x > 5; второй луч исключается.
8. [4; +∞) — Из x ≤ −2 или x ≥ 4 сохраняется x ≥ 4.

Критерии оценки

За каждое задание: 1 балл за верное множество решений, ещё 1 балл за корректное обоснование по пересечению множеств. Максимум 16 баллов за вариант. 14–16 — «5», 11–13 — «4», 8–10 — «3»; менее 8 — тема требует повторения. Для задания с пустым множеством нужно обосновать отсутствие пересечения.

Пограничные точки: корень квадратичного выражения включается только при ≤ или ≥; граница линейного условия — по его собственному знаку. В квадратном неравенстве без дроби дополнительных ограничений ОДЗ нет.

Разбор одного задания из каждого варианта

Вариант А, задание 3

Сначала рассмотрим произведение (x − 3)(x − 7). Корни 3 и 7. Внешние промежутки дают положительное значение, а между корнями произведение отрицательно. Из строгого условия > 0 получаем (−∞; 3) ∪ (7; +∞), без точек 3 и 7. Второе неравенство разрешает x ≤ 5. Пересекаем: правая часть (7; +∞) исчезает, левая остаётся полностью. Ответ (−∞; 3). Подстановка x = 0 подтверждает положительность произведения, а подстановка x = 4 показывает отрицательное значение.

Вариант Б, задание 3

После решения квадратного неравенства имеем два луча: x ≤ −2 и x ≥ 6. Линейное условие x ≤ 6 оставляет первый луч целиком, а от второго — ровно одну точку x = 6. Поэтому ответ не просто (−∞; −2], а (−∞; −2] ∪ {6}. Проверка x = 6 обязательна: первое произведение равно нулю, второе неравенство выполняется как равенство.

Что означает пустое пересечение

В варианте А, № 8, первое условие требует x находиться строго левее 8, а второе — правее 8 или в самой 8. Нет числа, одновременно удовлетворяющего обоим. Пустое множество ∅ — полноценный правильный ответ, его нельзя заменять числом 0: ноль сам по себе может не удовлетворять одному из ограничений.

Для систем полезно различать объединение (достаточно одного условия) и пересечение (нужны оба). Здесь используется только пересечение. Даже если отдельно каждое неравенство имеет бесконечно много решений, общая часть может быть пустой, одной точкой, одним интервалом или несколькими непересекающимися частями.

Памятка проверяющему

Если ученик указал верный интервал, но неправильно включил одну границу, попросите отдельно записать, во что обращается каждый множитель на этой границе. Для строгого знака нуль произведения запрещён; для нестрогого — разрешён. Если вместо пересечения ученик записал объединение, полезно предложить подставить любое число, которое удовлетворяет лишь одному условию: такая проверка быстро обнаруживает ошибку.