Система двух рациональных неравенств: примеры и объяснения для 9 класса

Здесь решается система двух рациональных неравенств: нужно независимо определить знаки двух дробей, учесть запрещённые значения знаменателей и найти пересечение. Это отличается от умения решать одно рациональное неравенство.

Три разобранных примера

Пример 1

(x − 1)/(x − 4) > 0; (x + 2)/(x − 3) < 0

Результат: (−2; 1). Первое: x < 1 или x > 4, x ≠ 4. Второе: −2 < x < 3. Пересечение — (−2; 1).

Пример 2

(x − 5)/(x + 1) ≤ 0; (x − 2)/(x − 7) ≥ 0

Результат: (−1; 2]. Первое: (−1; 5]; второе: (−∞; 2] ∪ (7; +∞). Плюс исключаем x = −1 и x = 7.

Пример 3

(x + 3)/(x − 1) ≥ 0; (x − 4)/(x + 2) < 0

Результат: (1; 4). Первое: (−∞; −3] ∪ (1; +∞). Второе: (−2; 4).

Точные шаги для каждого задания

1. Выпишите ОДЗ для каждой дроби и объедините запреты: если хотя бы один знаменатель равен нулю, значение недопустимо.
2. Найдите корни каждого числителя. По точкам нулей и разрывов начертите две независимые числовые прямые.
3. Проверяйте знак на интервалах, а корни включайте только при нестрогих знаках неравенств.
4. Пересеките два полученных множества. Сверьте границы с общим ОДЗ и подставьте одну внутреннюю точку.

Подсказка: у дроби (x − a)/(x − b) с a < b знак отрицателен между a и b, а положителен снаружи; точка x = b запрещена, точка x = a может входить только при нестрогом сравнении. Если порядок a и b обратный, рассуждение о знаке также верно, но интервалы нужно сначала упорядочить.

11 задач для самостоятельного решения

1. (x − 2)/(x − 6) < 0; (x + 1)/(x − 5) > 0 Общее ОДЗ и ответ: ______________________
2. (x − 8)/(x − 2) ≥ 0; (x − 3)/(x − 10) ≤ 0 Общее ОДЗ и ответ: ______________________
3. (x + 4)/(x − 3) < 0; (x − 1)/(x − 7) < 0 Общее ОДЗ и ответ: ______________________
4. (x − 1)/(x + 5) ≤ 0; (x + 2)/(x − 6) ≥ 0 Общее ОДЗ и ответ: ______________________
5. (x − 9)/(x − 4) < 0; (x − 6)/(x − 11) < 0 Общее ОДЗ и ответ: ______________________
6. (x + 1)/(x − 5) > 0; (x + 3)/(x − 2) < 0 Общее ОДЗ и ответ: ______________________
7. (x − 3)/(x + 4) ≥ 0; (x − 7)/(x − 1) ≤ 0 Общее ОДЗ и ответ: ______________________
8. (x + 6)/(x + 1) ≤ 0; (x + 3)/(x − 4) ≤ 0 Общее ОДЗ и ответ: ______________________
9. (x − 2)/(x − 5) > 0; (x − 6)/(x − 8) > 0 Общее ОДЗ и ответ: ______________________
10. (x − 4)/(x + 2) < 0; (x − 1)/(x − 6) > 0 Общее ОДЗ и ответ: ______________________
11. (x + 5)/(x − 2) ≤ 0; (x − 1)/(x − 4) ≥ 0 Общее ОДЗ и ответ: ______________________

Полные решения

1. (5; 6). Первое: (2; 6), второе: (−∞; −1) ∪ (5; +∞).
2. [8; 10). Первое: (−∞; 2) ∪ [8; +∞). Второе: [3; 10).
3. (1; 3). Первое: (−4; 3); второе: (1; 7).
4. (−5; −2]. Первое: (−5; 1]; второе: (−∞; −2] ∪ (6; +∞).
5. (6; 9). Первое: (4; 9), второе: (6; 11).
6. (−3; −1). Первое: (−∞; −1) ∪ (5; +∞); второе: (−3; 2).
7. [3; 7]. Первое: (−∞; −4) ∪ [3; +∞). Второе: (1; 7].
8. [−3; −1). Первое: [−6; −1); второе: [−3; 4).
9. (−∞; 2) ∪ (5; 6) ∪ (8; +∞). Первое: (−∞; 2) ∪ (5; +∞). Второе: (−∞; 6) ∪ (8; +∞).
10. (−2; 1). Первое: (−2; 4); второе: (−∞; 1) ∪ (6; +∞).
11. [−5; 1]. Первое: [−5; 2); второе: (−∞; 1] ∪ (4; +∞).

Проверка пограничных случаев

В № 5 точка x = 8 входит: первая дробь равна нулю, а во второй знаменатель не обращается в ноль. В № 10 входит x = 7, потому что второе неравенство нестрогое. В № 11 исключается x = −1, хотя оно могло бы выглядеть границей интервала: в первом знаменателе там ноль. В № 12 ответ содержит три несвязанных интервала — объединять их в один нельзя.

Помните: знак «;» между двумя дробными неравенствами означает «и», а не «или». Запись x = 5 для первой дроби в № 12 запрещена; эту точку нельзя вернуть после пересечения.

Почему ОДЗ нужно собрать до пересечения

У системы две дроби. Общая область определения — те числа, при которых обе дроби существуют. Для системы из задания 1 знаменатели x − 4 и x − 3. Следовательно, сначала исключаются x = 4 и x = 3. Затем решаем первое неравенство: дробь положительна слева от 1 и справа от 4. Решение первого условия — (−∞; 1) ∪ (4; +∞). Второе неравенство даёт интервал (−2; 3). Общая часть — (−2; 1). Точки 3 и 4 не оказались в итоговом ответе, но это не повод игнорировать их при решении.

Три способа проверить полученное множество

Проверка внутренней точки. В задании 4 итоговый промежуток (5; 6). Выберем x = 5,5. Первая дробь имеет положительный числитель и отрицательный знаменатель, то есть отрицательна. Во второй дроби числитель x + 1 положителен, знаменатель x − 5 также положителен; дробь положительна. Оба условия выполнены.

Проверка граничных точек. В задании 5 значение x = 8 удовлетворяет обоим неравенствам: первая дробь равна нулю, а вторая — отрицательна. Поскольку первое сравнение нестрогое, 8 входит. Точка 10 не входит: во второй дроби знаменатель равен нулю, хотя можно было бы ошибочно отметить её как правую границу.

Проверка числа вне ответа. В задании 6, например, x = 0 удовлетворяет первому неравенству: (0 + 4)/(0 − 3) отрицательно. Но второе даёт (0 − 1)/(0 − 7) положительное число, а требуется отрицательное. Следовательно, 0 нужно исключить. Так видно, почему нельзя просто объединить ответы двух неравенств.

Как избежать потери границ

Нестрогое неравенство допускает ноль числителя, если знаменатель при этом не равен нулю. Так, в задании 7 x = −2 входит: числитель второй дроби обращается в ноль, а первый знаменатель x + 5 равен 3. Напротив, в том же задании x = −5 запрещено: первый знаменатель равен нулю, хотя отрезок на черновой числовой прямой может начинаться именно там.

Если ответ состоит из нескольких промежутков, оставьте между ними знак объединения ∪. Например, в задании 12 три раздельных множества — не одна бесконечная полоса. В каждом промежутке нужно мысленно поставить одну пробную точку и проверить обе исходные дроби, а не только упрощённые знаки.

Работа над ошибкой

Для закрепления возьмите любую задачу и составьте две строки: «первое неравенство — решение» и «второе неравенство — решение». На третьей строке выпишите их пересечение. Далее проверьте две крайние точки и одну точку внутри. Такой порядок особенно полезен, когда неравенства имеют разные знаки: знак ≤ не означает, что знак второй дроби тоже должен быть неположительным.