Определение знака рациональной функции по схеме: задачи и решения для 9 класса

Углублённый практикум о схеме знаков рациональной функции. Цель — научиться читать знак самой функции на отдельных участках прямой, а не только записывать решение неравенства. В упражнениях есть простые и кратные нули, полюса чётной и нечётной кратности.

Как построить схему

1. Разложите числитель и знаменатель на множители. Нули числителя пометьте пустым/закрашенным кружком по контексту; точки знаменателя всегда выколоты.
2. Разместите все различные критические точки в порядке возрастания. Одна точка с кратностью 2 не образует два разных промежутка.
3. Установите знак на правом промежутке, подставив удобное число. Перемещаясь налево, меняйте знак у корня или полюса нечётной кратности, сохраняйте знак у чётной.
4. Проверяйте знак отдельно от того, можно ли включить критическую точку в решение неравенства: f(x) = 0 только в нуле числителя, который принадлежит ОДЗ.

Разобранный образец: f(x) = (x − 2)²/(x + 1). Особые точки −1 (полюс) и 2 (двойной нуль). На (−∞; −1) знак «−», на (−1; 2) знак «+» и на (2; +∞) тоже «+». Значение f(2) = 0, но f(−1) не существует.

Уровень I — простые нули и полюса

В каждом примере постройте краткую таблицу: промежуток — знак. Отметьте, где есть нуль.

• 1. f(x) = (x − 2)/(x + 3). Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.
• 2. f(x) = (x + 1)/(x − 4). Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.
• 3. f(x) = −(x − 3)/(x + 2). Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.
• 4. f(x) = (x + 5)(x − 1)/(x − 6). Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.
• 5. f(x) = (x − 7)/(x + 1). Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.
• 6. f(x) = (x + 4)/(x − 2). Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.
• 7. f(x) = (x − 5)(x + 2)/(x − 8). Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.

Уровень II — чётные степени

Отдельно объясните, почему при двойном нуле или чётном знаменателе знак не меняется.

• 8. f(x) = (x − 1)²/(x + 4). Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.
• 9. f(x) = (x + 2)/(x − 3)². Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.
• 10. f(x) = −(x − 4)(x + 1)/(x + 6)². Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.
• 11. f(x) = (x − 2)²(x + 5)/(x − 7). Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.
• 12. f(x) = (x + 3)²/(x − 1)². Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.
• 13. f(x) = (x − 8)/(x + 2)⁴. Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.
• 14. f(x) = (x + 4)(x − 6)²/(x − 2). Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.

Уровень III — смешанные кратности

Проверьте каждую смену знака. Не подменяйте полюс нулём функции.

• 15. f(x) = (x − 1)²(x + 3)/(x − 5)³. Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.
• 16. f(x) = −(x − 4)(x + 2)²/(x − 1)². Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.
• 17. f(x) = (x + 6)(x − 3)³/(x + 1)². Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.
• 18. f(x) = (x − 2)²(x + 4)/(x − 7)². Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.
• 19. f(x) = −(x + 5)²(x − 1)/(x + 3)³. Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.
• 20. f(x) = (x − 6)²(x + 2)/(x − 4)⁴. Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.
• 21. f(x) = −(x − 3)³/(x + 5)². Отметьте точки на оси, укажите знак функции на каждом полученном интервале и её ОДЗ.

Подробные ответы: уровни I–III

Уровень I

• 1. (−∞; -3): +; (-3; 2): −; (2; +∞): +. Нули: 2. Запрещено: -3.
• 2. (−∞; -1): +; (-1; 4): −; (4; +∞): +. Нули: -1. Запрещено: 4.
• 3. (−∞; -2): −; (-2; 3): +; (3; +∞): −. Нули: 3. Запрещено: -2.
• 4. (−∞; -5): −; (-5; 1): +; (1; 6): −; (6; +∞): +. Нули: -5, 1. Запрещено: 6.
• 5. (−∞; -1): +; (-1; 7): −; (7; +∞): +. Нули: 7. Запрещено: -1.
• 6. (−∞; -4): +; (-4; 2): −; (2; +∞): +. Нули: -4. Запрещено: 2.
• 7. (−∞; -2): −; (-2; 5): +; (5; 8): −; (8; +∞): +. Нули: -2, 5. Запрещено: 8.

Уровень II

• 8. (−∞; -4): −; (-4; 1): +; (1; +∞): +. Нули: 1. Запрещено: -4.
• 9. (−∞; -2): −; (-2; 3): +; (3; +∞): +. Нули: -2. Запрещено: 3.
• 10. (−∞; -6): −; (-6; -1): −; (-1; 4): +; (4; +∞): −. Нули: -1, 4. Запрещено: -6.
• 11. (−∞; -5): +; (-5; 2): −; (2; 7): −; (7; +∞): +. Нули: -5, 2. Запрещено: 7.
• 12. (−∞; -3): +; (-3; 1): +; (1; +∞): +. Нули: -3. Запрещено: 1.
• 13. (−∞; -2): −; (-2; 8): −; (8; +∞): +. Нули: 8. Запрещено: -2.
• 14. (−∞; -4): +; (-4; 2): −; (2; 6): +; (6; +∞): +. Нули: -4, 6. Запрещено: 2.

Уровень III

• 15. (−∞; -3): +; (-3; 1): −; (1; 5): −; (5; +∞): +. Нули: -3, 1. Запрещено: 5.
• 16. (−∞; -2): +; (-2; 1): +; (1; 4): +; (4; +∞): −. Нули: -2, 4. Запрещено: 1.
• 17. (−∞; -6): +; (-6; -1): −; (-1; 3): −; (3; +∞): +. Нули: -6, 3. Запрещено: -1.
• 18. (−∞; -4): −; (-4; 2): +; (2; 7): +; (7; +∞): +. Нули: -4, 2. Запрещено: 7.
• 19. (−∞; -5): −; (-5; -3): −; (-3; 1): +; (1; +∞): −. Нули: -5, 1. Запрещено: -3.
• 20. (−∞; -2): −; (-2; 4): +; (4; 6): +; (6; +∞): +. Нули: -2, 6. Запрещено: 4.
• 21. (−∞; -5): +; (-5; 3): +; (3; +∞): −. Нули: 3. Запрещено: -5.

На что смотреть при проверке

Знак в таблице относится только к открытым интервалам. Если задача просит f(x) ≥ 0, к положительным интервалам добавляют все допустимые нули. Если требуется f(x) > 0, нули не добавляют. При f(x) ≤ 0 к отрицательным интервалам добавляют допустимые нули. Полюса исключаются при любом знаке.

Контрольный вопрос: почему в задании 12 нельзя сказать «функция неотрицательна при всех x» без уточнения? Потому что x = 1 не принадлежит области определения, хотя выражение похоже на квадрат отношения.

Чтение схемы без лишних вычислений

Если все множители представлены степенями линейных выражений, можно начать с самого правого промежутка. Для больших положительных x каждый множитель вида x − a или x + b положителен, поэтому знак легко определяется общим минусом перед дробью. Затем по очереди переходите через особые точки справа налево. В точке нечётной кратности знак меняется, в точке чётной — остаётся прежним. Это работает как для нулей числителя, так и для полюсов знаменателя, но статус точки различен: нуль может входить в решение нестрогого неравенства, полюс запрещён всегда.

Три контрольных примера по уровням

Простой полюс

В задании 1 f(x) = (x − 2)/(x + 3). На далёком правом промежутке обе скобки положительны — значит знак «+». После перехода через 2 числитель отрицателен, знаменатель положителен, поэтому между −3 и 2 знак «−». После перехода через −3 оба множителя отрицательны, знак снова «+». Нуль 2 разрешён для нестрогого неравенства, а полюс −3 никогда не разрешён.

Чётная кратность

В задании 12 f(x) = (x + 3)²/(x − 1)². Дробь положительна по обе стороны от x = 1, если она определена. При x = −3 числитель равен нулю, поэтому f(−3) = 0. При x = 1 происходит деление на ноль — функция не существует. Если бы потребовалось решить f(x) ≥ 0, ответ был бы все x ≠ 1. А для f(x) > 0 пришлось бы исключить также x = −3.

Смешанные кратности

В задании 19 стоит общий минус и знаменатель третьей степени. Чётная степень (x + 5)² не меняет знак при x = −5. А полюс x = −3 нечётной кратности меняет знак, и при x = 1 числитель также меняет знак. Поэтому механическое чередование «плюс, минус, плюс» на каждой отмеченной точке здесь было бы ошибкой.

Как оценивать схему знаков

За каждое упражнение можно начислить один балл за верное упорядочивание критических точек и ОДЗ, второй — за верные знаки всех открытых интервалов, третий — за правильное выделение нулей функции. Для базовой диагностики достаточно проверить по одному заданию каждого уровня. Если ошибка встречается только у чётной степени, повторите правило кратностей; если нули путаются с полюсами, начните с ОДЗ.