Определение числа действительных корней при дробном старшем коэффициенте — математический практикум для 8 класса

Цель: объяснить количество различных действительных корней квадратного уравнения, когда коэффициент при x² — обыкновенная дробь. Ученик не обязан вычислять сами корни: нужно установить, будет ли их два, один или ни одного.

Спорный тезис: дробный коэффициент делает уравнение «особенным»

Предположим, что уравнение (1/2)x² − 3x + 4 = 0 требует принципиально нового правила, потому что перед x² стоит дробь. Это неверно. Уравнение остаётся квадратным, так как его старший коэффициент a = 1/2 не равен нулю. Для любого ax² + bx + c = 0 при a ≠ 0 используется дискриминант D = b² − 4ac. Если D > 0, действительных корней два; если D = 0, имеется один различный корень (корень кратности два); если D < 0, действительных корней нет.

В нашем примере D = (−3)² − 4 · (1/2) · 4 = 9 − 8 = 1, следовательно, корней два. Для независимой проверки умножим обе части на 2: x² − 6x + 8 = 0. Отсюда x = 2 и x = 4. Они действительно обращают исходное выражение в ноль. Значит, дробь сама по себе не говорит ничего о количестве корней.

Почему знак дискриминанта не меняется при избавлении от знаменателей

Допустим, все коэффициенты умножены на одно и то же ненулевое число k. Получено (ka)x² + (kb)x + kc = 0. Новый дискриминант D′ = (kb)² − 4(ka)(kc) = k²(b² − 4ac) = k²D. Поскольку k² положительно, у D и D′ один и тот же знак. Это и объясняет, почему можно аккуратно убрать знаменатели умножением всего уравнения на их общий знаменатель. Нельзя домножать только один член: получится другое уравнение.

Проверим и случай отрицательного множителя. Если k = −3, то k² = 9. Даже умножение всего уравнения на отрицательное число не переворачивает знак D. Зато a и b могут поменять знаки, поэтому важно считать весь дискриминант, а не пытаться угадывать его по отдельному коэффициенту.

Практическая таблица: исследуйте и обоснуйте

Удобно сначала выписать a, b, c вместе с их знаками, затем вычислять b² и произведение 4ac отдельно. Все дроби можно оставлять точными: десятичные приближения здесь не нужны.

Особые случаи и задачи на доказательство

1. 11. Ученик говорит: «Если a = −1/2, то D обязательно отрицателен». Опровергните утверждение двумя разными уравнениями, у одного из которых нет действительных корней, а у другого два.
2. 12. Известно, что (1/3)x² + tx + 3 = 0 имеет ровно один действительный корень. Найдите все возможные значения t и объясните, почему иных нет.
3. 13. Для каких целых значений p из набора {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3} уравнение (1/2)x² + px + 2 = 0 не имеет действительных корней?
4. 14. Уравнение (m − 2)x²/5 + 3x + 1 = 0. При каком m нельзя пользоваться правилом о дискриминанте квадратного уравнения? Сколько действительных корней при этом значении m?
5. 15. Сравните количество различных действительных корней (−1/4)x² + 2x − 4 = 0 и x² − 8x + 16 = 0. Объясните, почему ответы согласуются.

Ключ с полными расчётами

1. 1. a = 1/2, b = -3, c = 4; D = (-3)² − 4 · (1/2) · (4) = 1. Действительных корней два.
2. 2. a = -1/3, b = 2, c = -3; D = (2)² − 4 · (-1/3) · (-3) = 0. Один различный действительный корень.
3. 3. a = 3/4, b = 1, c = 2; D = (1)² − 4 · (3/4) · (2) = -5. Действительных корней нет.
4. 4. a = 2/5, b = -3, c = 4; D = (-3)² − 4 · (2/5) · (4) = 13/5. Действительных корней два.
5. 5. a = -3/5, b = 6/5, c = -3/5; D = (6/5)² − 4 · (-3/5) · (-3/5) = 0. Один различный действительный корень.
6. 6. a = 5/6, b = 0, c = -3/2; D = (0)² − 4 · (5/6) · (-3/2) = 5. Действительных корней два.
7. 7. a = -2/7, b = 0, c = -7/2; D = (0)² − 4 · (-2/7) · (-7/2) = -4. Действительных корней нет.
8. 8. a = 1/4, b = -1, c = 1; D = (-1)² − 4 · (1/4) · (1) = 0. Один различный действительный корень.
9. 9. a = 3/8, b = -3/2, c = 3/2; D = (-3/2)² − 4 · (3/8) · (3/2) = 0. Один различный действительный корень.
10. 10. a = -1/2, b = 4, c = 10; D = (4)² − 4 · (-1/2) · (10) = 36. Действительных корней два.

11. Например, (−1/2)x² + 1 = 0 имеет D = 2 > 0, то есть два корня. А (−1/2)x² − 1 = 0 имеет D = −2 < 0, действительных корней нет. При одном и том же a возможны разные результаты.

12. D = t² − 4 · (1/3) · 3 = t² − 4. Для одного различного действительного корня требуется D = 0, поэтому t² = 4, откуда t = −2 или t = 2. В каждом случае a ≠ 0, так что уравнение действительно квадратное.

13. D = p² − 4 · (1/2) · 2 = p² − 4. Для отсутствия действительных корней нужно p² < 4; среди указанных целых это p = −1, 0, 1. Значения ±2 дают ровно один корень, ±3 — два.

14. При m = 2 старший коэффициент обращается в ноль. Остаётся линейное уравнение 3x + 1 = 0, единственное решение x = −1/3. Формулу для квадратного уравнения к нему не применяют.

15. Первое уравнение после умножения всех членов на −4 превращается во второе. В обоих D = 0, единственный различный корень x = 4. Не путайте «один корень кратности два» с «двумя разными корнями».

Самопроверка доказательства

Для каждого пункта ученик должен указать условие a ≠ 0, вычисленный D и вывод о числе действительных корней. Если ответ дан только словом «два», но знак дискриминанта не обоснован, рассуждение неполное. При затруднении полезно отдельно вычислить 4ac, а затем сравнить это число с b². Нулевой дискриминант всегда трактуется одинаково: два совпадающих значения корня — не два различных корня.

Откуда вообще берётся правило о количестве корней

Свойство дискриминанта можно вывести без запоминания трёх отдельных случаев. Из ax² + bx + c = 0 (где a ≠ 0) следует после умножения на 4a: 4a²x² + 4abx + 4ac = 0. Допишем b² к обеим частям и сгруппируем: (2ax + b)² = b² − 4ac = D. Левая часть является квадратом действительного числа. Поэтому она не может равняться отрицательному D. При D = 0 она равна нулю лишь тогда, когда 2ax + b = 0; это одно значение x. При D > 0 квадратное уравнение 2ax + b = ±√D даёт два разных значения. Это не мнемоника, а короткое доказательство всей классификации.

Здесь важно, что a ≠ 0: иначе уравнение 2ax + b = ±√D может перестать задавать два различных значения. Условие «старший коэффициент дробный» не отменяет этого запрета. Дробь вроде 0/7 равна нулю и не может быть старшим коэффициентом квадратного уравнения, несмотря на форму записи. Напротив, −2/7, 1/100 или 5/3 — допустимые значения a.

Несколько подробных разборов из таблицы

Номер 2. Уравнение (−1/3)x² + 2x − 3 = 0. Произведение ac = (−1/3)·(−3) = 1, поэтому D = 4 − 4 = 0. Умножив всё равенство на −3, получаем x² − 6x + 9 = (x − 3)² = 0. Таким образом, x = 3 — единственный различный корень. Если считать лишь «отрицательное a, значит отрицательный D», ответ окажется ошибочным.

Номер 3. Для (3/4)x² + x + 2 = 0 получаем D = 1 − 4·(3/4)·2 = 1 − 6 = −5. Никакая действительная величина при подстановке не даст нуля. Можно убедиться ещё одним способом: умножим всё уравнение на 4 и дополним квадрат, получая 3x² + 4x + 8 = 3(x + 2/3)² + 20/3. Это выражение строго больше нуля при любом действительном x.

Номер 10. Уравнение (−1/2)x² + 4x + 10 = 0 даёт D = 16 + 20 = 36. Значит, два корня существуют. После умножения всего равенства на −2 получаем x² − 8x − 20 = 0. Разложение (x − 10)(x + 2) = 0 показывает корни x = 10 и x = −2. Здесь отрицательное значение a не мешает получить два корня, и это удобный контроль для спорного тезиса в начале работы.

Как проверять решения соседа

Сначала проверьте, что решавший правильно выписал коэффициенты: знак перед свободным членом входит в c, а знак перед x — в b. Затем сверяйте не последнюю строчку, а два независимых вычисления: b² и 4ac. Это особенно полезно при отрицательных дробях. Например, квадрат −3 равен 9, а произведение отрицательного a и положительного c отрицательно, так что вычитание 4ac может увеличить дискриминант.

Если ученик получил D = 0 и написал «два корня», уточните, имеет ли он в виду кратность или два различных значения. Если записал приблизительный десятичный ответ вместо точной дроби, попросите повторить вычисления без округления: около нуля такая замена способна сделать положительный дискриминант «нулевым» либо наоборот. В задачах на число корней точный знак важнее численного приближения. После проверки выберите любое уравнение с D > 0 и подставьте найденные корни: это не обязательно для каждой задачи, но даёт полезную независимую проверку метода.

Две маленькие задачи для проверки границ метода

Представьте, что в условии сказано: «Уравнение (t/4)x² + 2x − 1 = 0 квадратное для любого t». Это неверно при t = 0: тогда перед x² нет ненулевого коэффициента и остаётся линейное равенство 2x − 1 = 0. Для t ≠ 0 дискриминант D = 4 − 4·(t/4)·(−1) = 4 + t. При t < −4 действительных корней нет; при t = −4 есть один различный; при t > −4 и t ≠ 0 их два. Значение t = 0 следует рассматривать отдельно, хотя формальный D в этом случае положителен.

Другой вопрос: если ученик вместо D = 1/9 получил приближённо 0,11, меняется ли число корней? Нет: оба числа положительны. Но если точный D = 0, то округлённые коэффициенты могут дать небольшое положительное или отрицательное значение. Поэтому при сравнении с нулём сохраняйте дроби точно вплоть до окончательного вывода. Это математически более надёжно, чем округлять каждый промежуточный шаг.