Восстановление коэффициента уравнения при нулевом свободном члене — рабочий лист для 8 класса

Рабочий лист для 8 класса. Учебный результат: восстановить недостающий коэффициент в неполном квадратном уравнении, не потерять нулевой корень и объяснить, когда данных недостаточно. Все задания относятся именно к случаю c = 0.

Старт: разберите один пример

Дано 3x² + bx = 0, известно, что x = 5 — корень. Подставим не нулевой корень: 3 · 25 + 5b = 0, значит, b = −15. Проверка: 3x² − 15x = 3x(x − 5); корни 0 и 5. При подстановке x = 0 всегда получалось бы 0 = 0, поэтому по одному только нулевому корню b определить нельзя. Это главная ловушка темы.

Маршрут А — восстановите b по известному ненулевому корню

1. 1. В 2x² + bx = 0 ненулевой корень равен 3. Найдите b и назовите второй корень.
2. 2. В 4x² + bx = 0 ненулевой корень равен -2. Найдите b и назовите второй корень.
3. 3. В 5x² + bx = 0 ненулевой корень равен 1. Найдите b и назовите второй корень.
4. 4. В 3x² + bx = 0 ненулевой корень равен -4. Найдите b и назовите второй корень.
5. 5. В 6x² + bx = 0 ненулевой корень равен 1/2. Найдите b и назовите второй корень.
6. 6. В x² + bx = 0 ненулевой корень равен -7. Найдите b и назовите второй корень.
7. 7. В 3/2x² + bx = 0 ненулевой корень равен 2. Найдите b и назовите второй корень.
8. 8. В 5/2x² + bx = 0 ненулевой корень равен -4. Найдите b и назовите второй корень.

После каждого ответа проверьте оба значения. Обратить внимание: «коэффициент b» — число со знаком; отсутствие буквы b в исходной записи не означает b = 1. Если a задан дробью, её не нужно заменять округлённым десятичным значением.

Развилка: верно или ошибка?

1. 9. Уравнение 7x² + bx = 0 имеет корень 0. Ученик сделал вывод b = 0. Достаточно ли сведений? Почему?
2. 10. Для уравнения 2x² − 10x = 0 указаны корни 0 и −5. Определите неверный знак и найдите верную пару.
3. 11. В уравнении kx² + 4x = 0 ненулевой корень равен −2; ученик ответил k = −2. Выясните, что неверно.
4. 12. Кто-то записал при c = 0 и b = 0: «корней нет, ведь x вынесен за скобку». Покажите правильное решение 9x² = 0.

Маршрут Б — восстановите старший коэффициент a

1. 13. В ax² − 12x = 0 один из корней 3. Найдите a, проверьте условие a ≠ 0.
2. 14. В ax² + 10x = 0 один из корней -5. Найдите a, проверьте условие a ≠ 0.
3. 15. В ax² − 9x = 0 один из корней 3/2. Найдите a, проверьте условие a ≠ 0.
4. 16. В ax² + 7x = 0 один из корней -1. Найдите a, проверьте условие a ≠ 0.
5. 17. В ax² − 4x = 0 один из корней 1/2. Найдите a, проверьте условие a ≠ 0.

Финиш: дополните условие сами

1. 18. Составьте уравнение вида ax² + bx = 0 с a = 3 и корнями 0 и −4. Докажите, что обе подстановки верны.
2. 19. Требуется получить ровно один различный корень при c = 0 и a = −5. Найдите b и обоснуйте кратность корня.

Ключ для самопроверки

Ответы 1–8

1. 1. Из ar² + br = 0 и r ≠ 0 получаем b = −ar = -6. Разложение: x(2x + -6) = 0, корни 0 и 3.
2. 2. Из ar² + br = 0 и r ≠ 0 получаем b = −ar = 8. Разложение: x(4x + 8) = 0, корни 0 и -2.
3. 3. Из ar² + br = 0 и r ≠ 0 получаем b = −ar = -5. Разложение: x(5x + -5) = 0, корни 0 и 1.
4. 4. Из ar² + br = 0 и r ≠ 0 получаем b = −ar = 12. Разложение: x(3x + 12) = 0, корни 0 и -4.
5. 5. Из ar² + br = 0 и r ≠ 0 получаем b = −ar = -3. Разложение: x(6x + -3) = 0, корни 0 и 1/2.
6. 6. Из ar² + br = 0 и r ≠ 0 получаем b = −ar = 7. Разложение: x(1x + 7) = 0, корни 0 и -7.
7. 7. Из ar² + br = 0 и r ≠ 0 получаем b = −ar = -3. Разложение: x(3/2x + -3) = 0, корни 0 и 2.
8. 8. Из ar² + br = 0 и r ≠ 0 получаем b = −ar = 10. Разложение: x(5/2x + 10) = 0, корни 0 и -4.

Разбор развилки 9–12

9. Сведений недостаточно: при любом b значение x = 0 удовлетворяет уравнению 7x² + bx = 0. Например, b = 2 и b = −8 оба подходят; это не доказательство b = 0.

10. 2x² − 10x = 2x(x − 5). Ненулевой корень равен +5, а не −5. Проверка ошибки: при x = −5 получается 50 + 50 = 100, а не 0.

11. Подстановка: k · (−2)² + 4 · (−2) = 0, значит 4k − 8 = 0, k = 2. Ошибочный ответ −2 не удовлетворяет равенству; здесь нельзя забывать квадрат отрицательного числа.

12. 9x² = 0, поэтому x² = 0, x = 0. Это единственный различный корень, но он двукратный. Вынос x за скобку не отменяет нулевой корень.

Ответы 13–17

1. 13. a = −b/r = −(-12)/(3) = 4 ≠ 0. После подстановки r: 4 · (3)² + (-12) · (3) = 0. Второй корень 0.
2. 14. a = −b/r = −(10)/(-5) = 2 ≠ 0. После подстановки r: 2 · (-5)² + (10) · (-5) = 0. Второй корень 0.
3. 15. a = −b/r = −(-9)/(3/2) = 6 ≠ 0. После подстановки r: 6 · (3/2)² + (-9) · (3/2) = 0. Второй корень 0.
4. 16. a = −b/r = −(7)/(-1) = 7 ≠ 0. После подстановки r: 7 · (-1)² + (7) · (-1) = 0. Второй корень 0.
5. 17. a = −b/r = −(-4)/(1/2) = 8 ≠ 0. После подстановки r: 8 · (1/2)² + (-4) · (1/2) = 0. Второй корень 0.

18. Из 3x² + bx = 0 и r = −4 следует b = −3 · (−4) = 12. Уравнение 3x² + 12x = 3x(x + 4) = 0; при x = 0 и x = −4 обе части равны нулю.

19. Нужен b = 0. Тогда −5x² = 0 имеет только x = 0 (двукратный). Если b ≠ 0, второе решение x = −b/a отлично от нуля, значит, различных корней будет два.

Что исправить, если не получилось

Если ошибка возникла в номерах 1–8, повторите преобразование r(ar + b) = 0 при r ≠ 0. Если в 13–17 — сначала установите, какое число обозначает b, включая знак, и лишь затем находите a = −b/r. Ошибки 9 и 19 показывают, что условия задачи иногда недостаточны или накладывают особое ограничение. Не придумывайте коэффициент без основания: корректный ответ «определить нельзя» тоже является математическим результатом.

Почему нулевой корень не определяет коэффициент

В любом уравнении ax² + bx = 0 при подстановке x = 0 получается a·0² + b·0 = 0 независимо от значений a и b. Поэтому известное условие «0 является корнем» не налагает дополнительных требований на b. Это можно проверить даже на двух совсем разных уравнениях: 7x² − 21x = 0 имеет корни 0 и 3, а 7x² + 14x = 0 — корни 0 и −2. В обоих случаях a одинаковый, но b различен. Следовательно, данные о нулевом корне не позволяют выбрать единственное b.

С ненулевым корнем ситуация принципиально другая. Если r ≠ 0, то подстановка даёт ar² + br = 0. После вынесения r получаем r(ar + b) = 0. Поскольку r не ноль, обязательно ar + b = 0, то есть b = −ar. А если требуется a, при фиксированном b и ненулевом r получаем a = −b/r. Здесь особенно важно не делить на r без проверки r ≠ 0: деление на ноль не определено.

Если ученик сразу написал b = −ar, попросите его вернуться к исходному равенству и показать, почему именно это значение подходит. Формула не должна заменять объяснение. Например, в задании с a = 6 и корнем 1/2 находим b = −3. Проверка: 6·(1/2)² − 3·(1/2) = 6/4 − 3/2 = 0. Неверный ответ b = +3 дал бы 6/4 + 3/2 = 3, а не ноль.

Разбор частых вычислительных трудностей

Неверный знак. В задании с a = 3 и корнем −4 имеем b = −3·(−4) = +12. Два минуса дают плюс. Подстановка −4 в 3x² + 12x действительно даёт 48 − 48 = 0. Если забыть знак и взять b = −12, получится 48 + 48 = 96.

Дробный коэффициент. При a = 3/2 и r = 2 значение b = −3. Исходное уравнение (3/2)x² − 3x = 0 можно умножить на 2 и получить 3x² − 6x = 0. Это эквивалентные уравнения: два одинаковых корня 0 и 2 сохраняются при ненулевом общем множителе.

Восстановление a. В задании 15 имеем b = −9 и r = 3/2. Равенство a·(9/4) − 9·(3/2) = 0 даёт a = 6. Это совпадает с формулой −b/r = 9/(3/2) = 6. Число 3/2 нельзя интерпретировать как деление сначала только на числитель: деление на дробь означает умножение на обратную дробь.

Когда коэффициент нулевой. Если b = 0, уравнение ax² = 0 при a ≠ 0 всё ещё квадратное и имеет один различный корень 0 (кратности два). Если же a = 0, квадратного уравнения вообще нет; это нужно обязательно проверить при попытке восстановить a.

Методическая проверка трёх типов неизвестных

В заданиях данного листа неизвестным иногда является b, иногда a, иногда сама возможность однозначного восстановления. Для контроля удобно составить три коротких вопроса к решению: «Какой коэффициент известен?», «Какой корень заведомо ненулевой?», «Не получился ли a = 0?». Если хотя бы один из них оставлен без ответа, решение может быть ошибочным даже при удачной числовой догадке.

Разберите разницу на конкретных данных. При известном a = 2 и корне r = 3 коэффициент b однозначно равен −6. При известном b = −6 и том же корне r = 3 коэффициент a однозначно равен 2. А если известно только, что r = 0 является корнем, то можно построить бесконечно много разных неполных квадратных уравнений: 2x² − 6x = 0, 2x² + 5x = 0, 2x² = 0 и другие. Ответ «не хватает условия» в последнем случае содержательно отличается от «не умею решить»: он подтверждается доказательством.

При оценивании полезно дать отдельный балл за проверку подстановкой. Даже правильно восстановленный коэффициент не гарантирует, что ученик осознал особенность нулевого корня. Убедитесь, что в полном ответе записаны все различные корни и объяснено, почему других нет.