Восстановление коэффициента уравнения при двойном корне — самостоятельная работа, 8 класс

Мини-тест для 8 класса. 12 вопросов, максимум 20 баллов. Здесь неизвестный коэффициент восстанавливается по условию, что у квадратного уравнения один действительный корень кратности два. Важно не путать это с уравнением, у которого два разных корня.

Перед стартом: для ax² + bx + c = 0 обязательно a ≠ 0. Двойной корень имеет место точно при D = b² − 4ac = 0, а его значение x₀ = −b/(2a). При известных a и корне r можно также записать a(x − r)².

Блок I. Выберите ответ (по 1 баллу)

1. 1. x² − 6x + p = 0 имеет двойной корень. p равен: А) 3; Б) 9; В) 18.
2. 2. В x² + bx + 16 = 0 двойной корень. Сколько возможных значений b: А) одно; Б) два; В) ни одного?
3. 3. 2x² + bx + 8 = 0 имеет двойной корень. Какие значения b подходят: А) ±8; Б) ±4; В) только 8?
4. 4. Уравнение px² − 10x + 5 = 0 имеет двойной корень. p равно: А) 2; Б) 5; В) 10?

Блок II. Восстановите коэффициент (по 2 балла)

1. 5. 3x² − 12x + c = 0 имеет двойной корень. Найдите c и сам корень.
2. 6. x² + qx + 25 = 0: найдите все q, при которых корень двойной, и укажите каждый корень.
3. 7. ax² + 6x + 3 = 0, a ≠ 0. Найдите a, если корень двойной.
4. 8. 4x² + kx + 1 = 0: найдите все k, а затем проверьте каждый найденный корень подстановкой.

Блок III. Исправьте рассуждение (по 2 балла)

1. 9. Ученик решил: «x² − 10x + 25 = 0, значит корни 5 и −5». Запишите верный ответ и объясните ошибку.
2. 10. «В уравнении x² + px = 0 свободный член равен нулю; значит, двойной корень получится при любом p». Верно ли это? Найдите p.
3. 11. «Если a = 0 и D = 0, то есть двойной корень». Объясните, почему это некорректно для квадратного уравнения. Приведите пример.
4. 12. В уравнении (1/2)x² − 3x + c = 0 задан двойной корень. Найдите c двумя способами: через D и через x₀.

Ключ и разбор спорных ответов

1. 1. Б) p = 9: D = 36 − 4p = 0 ⇒ p = 9. Корень 3.
2. 2. Б) два: D = b² − 64 = 0 ⇒ b = ±8. Значение одного коэффициента выбрать нельзя без дополнительного условия.
3. 3. А) ±8: D = b² − 4 · 2 · 8 = b² − 64; поэтому b = 8 или −8. При b = 8 корень −2, при b = −8 корень 2.
4. 4. Б) p = 5: D = (−10)² − 4 · p · 5 = 100 − 20p = 0. Проверяем p ≠ 0.
5. 5. D = 144 − 12c = 0, значит c = 12. x₀ = 12/6 = 2, и 3(x − 2)² = 0.
6. 6. q² − 100 = 0 ⇒ q = ±10. При q = 10 корень −5, при q = −10 корень 5: знак коэффициента и корня противоположен.
7. 7. D = 36 − 4 · a · 3 = 36 − 12a = 0 ⇒ a = 3. Корень x₀ = −6/(2 · 3) = −1.
8. 8. k² − 16 = 0 ⇒ k = ±4. При k = −4 корень 1/2: 4 · (1/4) − 4 · (1/2) + 1 = 0. При k = 4 корень −1/2: 1 − 2 + 1 = 0.
9. 9. (x − 5)² = 0. Единственный различный корень x = 5, кратность два. Число −5 не подходит: 25 + 50 + 25 = 100.
10. 10. Неверно. x(x + p) = 0, корни 0 и −p. Они совпадают лишь при p = 0: x² = 0.
11. 11. По определению a ≠ 0. Например, 0x² + 0x + 3 = 0 имеет формальный D = 0, но это равенство 3 = 0 без решений, не квадратное уравнение. Проверка D без условия a ≠ 0 ошибочна.
12. 12. D = 9 − 4 · (1/2) · c = 9 − 2c; c = 9/2. Второй путь: x₀ = 3/(2 · 1/2) = 3; подставляем (1/2)·9 − 3·3 + c = 0 ⇒ c = 9/2.

Оценивание и коррекция

Сумма баллов: четыре вопроса по 1 баллу и восемь вопросов по 2 балла — 20 баллов. 18–20 — уверенно; 14–17 — допустимы отдельные вычислительные неточности; 10–13 — следует повторить связь D = 0 и квадрата двучлена; 0–9 — вернитесь к факторизации и формуле x₀. В задачах с несколькими допустимыми коэффициентами ответ без обоих вариантов не считается полным.

Как рассуждать в заданиях с несколькими возможными ответами

Равенство D = 0 иногда приводит не к одному значению неизвестного коэффициента, а к двум. Например, в x² + qx + 25 = 0 имеем q² = 100, то есть q = +10 или q = −10. Оба значения дают двойной корень, но разные по знаку: соответственно −5 и +5. Ответ с одним q был бы неполным, даже если для выбранного значения вычисления выполнены правильно. После нахождения коэффициента полезно записать уравнение в виде квадрата двучлена — так одновременно видны и корень, и кратность.

Нередко двойной корень удобнее искать не через дискриминант, а через известное значение r. Если a и r заданы, то уравнение обязано выглядеть как a(x − r)² = 0, значит, b = −2ar и c = ar². Это позволяет выполнить обратную проверку. Но применять формулу нельзя, если a = 0: линейное равенство не может иметь двойной корень в смысле квадратного уравнения.